題目列表(包括答案和解析)
（本小題滿分14分）
設(shè)M是由滿足下列條件的函數(shù)
構(gòu)成的集合：“①方程
有實(shí)數(shù)根；
②函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
滿足
”
（I）判斷函數(shù)
是否是集合M中的元素，并說(shuō)明理由；
（II）集合M中的元素具有下面的性質(zhì)：若的定義域?yàn)镈，則對(duì)于任意[m，n]
，都存在
，使得等式
成立。試用這一性質(zhì)證明：方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根；
（III）設(shè)x1是方程的實(shí)數(shù)根，求證：對(duì)于定義域中任意的x2，x3，當(dāng)
時(shí)，有
（本小題滿分14分）
設(shè)M是由滿足下列條件的函數(shù)
構(gòu)成的集合：“①方程
有實(shí)數(shù)根；
②函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
滿足
”
（I）判斷函數(shù)
是否是集合M中的元素，并說(shuō)明理由；
（II）集合M中的元素具有下面的性質(zhì)：若的定義域?yàn)镈，則對(duì)于任意[m，n]
，都存在
，使得等式
成立。試用這一性質(zhì)證明：方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根；
（III）設(shè)x1是方程的實(shí)數(shù)根，求證：對(duì)于定義域中任意的x2，x3，當(dāng)
時(shí)，有
一、選擇題：
題號(hào)
研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image179.gif)
研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image146.gif)
研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image177.gif)
研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image181.gif)
研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image175.gif)
研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image331.gif)
研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image333.gif)
研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image335.gif)
答案
研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image337.gif)
研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image339.gif)
研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image341.gif)
研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image343.gif)
1、解析：研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image347.gif)
，N＝研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image349.gif)
，
即研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image351.gif)
．答案：．
2、解析：由題意得研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image353.gif)
，又研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image355.gif)
．
答案：．
3、解析：程序的運(yùn)行結(jié)果是研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image357.gif)
．答案：．
4、解析：與直線研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image038.gif)
垂直的切線研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image036.gif)
的斜率必為4，而研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image359.gif)
，所以，切點(diǎn)為研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image361.gif)
．切線為研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image363.gif)
，即研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image041.gif)
，答案：．
5、解析：由一元二次方程有實(shí)根的條件研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image366.gif)
，而研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image368.gif)
，由幾何概率得有實(shí)根的概率為研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image055.gif)
．答案：．
6、解析：如果兩條平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面，所以正確；如果兩個(gè)平面與同一條直線垂直，則這兩個(gè)平面平行，所以正確；
如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)了另一個(gè)平面的一條垂線，則這兩個(gè)平面平行，所以也正確；
只有選項(xiàng)錯(cuò)誤．答案：．
7、解析：由題意，得研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image370.gif)
，答案：．
8、解析：研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image142.gif)
的圖象先向左平移研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image372.gif)
，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image374.gif)
．答案：．
二、填空題：
題號(hào)
研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image376.gif)
研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image378.gif)
研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image380.gif)
研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image382.gif)
研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image384.gif)
研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image386.gif)
研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image388.gif)
答案
研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image025.gif)
研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image391.gif)
研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image393.gif)
研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image397.gif)
9、解析：若研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image160.gif)
，則研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image400.gif)
，解得研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image402.gif)
．
10、解析：由題意研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image404.gif)
．
11、解析：研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image406.gif)
研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image408.gif)
12、解析：令研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image410.gif)
，則研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image412.gif)
，令研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image414.gif)
，則研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image416.gif)
，
令研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image418.gif)
，則研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image420.gif)
，令研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image422.gif)
，則研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image424.gif)
，
令研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image426.gif)
，則研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image428.gif)
，令研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image430.gif)
，則研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image432.gif)
，
…，所以研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image434.gif)
．
13、解析：研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image191.gif)
：研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image436.gif)
；則圓心坐標(biāo)為研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image438.gif)
．
研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image195.gif)
：研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image440.gif)
由點(diǎn)到直線的距離公式得圓心到直線的距離為研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image442.gif)
，所以要求的最短距離為研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image444.gif)
．
14、解析：由柯西不等式研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image446.gif)
，答案：．
15、解析：顯然研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image216.gif)
與研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image220.gif)
為相似三角形，又研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image448.gif)
，所以的面積等于研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image218.gif)
．
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程和演算步驟．
16、解: (Ⅰ)研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image450.gif)
研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image452.gif)
, ……………………… 2分
∴研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image454.gif)
，………………………………………………… 4分
解得研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image456.gif)
．………………………………………………………………… 6分
(Ⅱ)由研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image236.gif)
,得：研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image458.gif)
, ……………………… 8分
∴研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image460.gif)
………………………………… 10分
∴研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image462.gif)
．…………………………………………………………… 12分
17、解：（1）研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image464.gif)
… 2分
則研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image171.gif)
的最小正周期研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image466.gif)
， …………………………………4分
且當(dāng)研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image468.gif)
時(shí)單調(diào)遞增．
即研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image470.gif)
為的單調(diào)遞增區(qū)間（寫(xiě)成開(kāi)區(qū)間不扣分）．………6分
（2）當(dāng)研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image242.gif)
時(shí)研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image472.gif)
，當(dāng)研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image474.gif)
，即研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image476.gif)
時(shí)研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image478.gif)
．
所以研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image480.gif)
． …………………………9分
研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image482.gif)
為的對(duì)稱軸． …………………12分
18、解：
（Ⅰ）解法一：“有放回摸兩次，顏色不同”指“先白再黑”或“先黑再白”，
記“有放回摸球兩次，兩球恰好顏色不同”為事件，………………………2分
∵“兩球恰好顏色不同”共研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image485.gif)
種可能，…………………………5分
∴研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image487.gif)
． ……………………………………………………7分
解法二：“有放回摸取”可看作獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)， …………………………2分
∵每次摸出一球得白球的概率為研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image489.gif)
．………………………………5分
∴“有放回摸兩次，顏色不同”的概率為研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image491.gif)
． ……………………………7分
（Ⅱ）設(shè)摸得白球的個(gè)數(shù)為研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image493.gif)
，依題意得：
研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image495.gif)
，研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image497.gif)
，研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image499.gif)
．…………10分
∴研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image501.gif)
，……………………………………12分
研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image503.gif)
．……………………14分
19、(Ⅰ)證明: 連結(jié)研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image505.gif)
，研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image507.gif)
與交于點(diǎn)研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image509.gif)
，連結(jié)研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image511.gif)
.………………………1分
研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image205.gif)
是菱形, ∴是的中點(diǎn). ………………………………………2分
點(diǎn)研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image264.gif)
為研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image266.gif)
的中點(diǎn), ∴研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image515.gif)
. …………………………………3分
研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image517.gif)
平面研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image519.gif)
平面研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image270.gif)
, ∴研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image268.gif)
平面. ……………… 6分
研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image529.gif)
(Ⅱ)解法一:
研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image260.gif)
平面,研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image532.gif)
平面,∴ 研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image534.gif)
.
研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image536.gif)
，∴研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image538.gif)
. …………………………… 7分
是菱形, ∴研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image541.gif)
.
研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image543.gif)
，
∴研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image545.gif)
平面研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image547.gif)
. …………………………………………………………8分
作研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image549.gif)
，垂足為研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image551.gif)
，連接研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image553.gif)
，則研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image555.gif)
,
所以研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image557.gif)
為二面角研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image558.gif)
的平面角. ………………………………… 10分
研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image262.gif)
,∴研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image561.gif)
，研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image563.gif)
.
在Rt△研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image565.gif)
中,研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image567.gif)
=研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image569.gif)
研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image571.gif)
，…………………………… 12分
∴研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image573.gif)
.…………………………… 13分
∴二面角研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image272.gif)
的正切值是研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image575.gif)
. ………………………… 14分
解法二：如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image578.gif)
的垂直平分線所在直線為研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image095.gif)
軸，研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image581.gif)
所在直線為研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image097.gif)
軸，研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image584.gif)
所在直線為研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image586.gif)
軸，建立空間直角坐標(biāo)系，令研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image588.gif)
，……………2分
則研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image590.gif)
，研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image592.gif)
,研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image594.gif)
．
研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image598.gif)
∴研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image600.gif)
． ……………4分
設(shè)平面研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image602.gif)
的一個(gè)法向量為研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image604.gif)
研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image606.gif)
,
由研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image609.gif)
研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image612.gif)
，得研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image614.gif)
，
令研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image616.gif)
，則研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image618.gif)
，∴研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image620.gif)
. …………………7分
平面,平面,
∴. ………………………………… 8分
，∴.
是菱形,∴.
，∴平面.…………………………… 9分
∴研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image628.gif)
是平面的一個(gè)法向量,研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image631.gif)
研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image633.gif)
．………………… 10分
∴研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image635.gif)
，
∴研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image637.gif)
， …………………… 12分
∴研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image639.gif)
．…………………………………… 13分
∴二面角的正切值是. ……………………… 14分
20、解:圓研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image288.gif)
的方程為研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image642.gif)
,則其直徑長(zhǎng)研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image644.gif)
,圓心為研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image646.gif)
,設(shè)的方程為研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image649.gif)
,即研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image651.gif)
,代入拋物線方程得:研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image653.gif)
,設(shè)研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image655.gif)
，
研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image656.gif)
有研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image658.gif)
, ………………………………2分
則研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image660.gif)
. ……………………4分
故研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image662.gif)
…6分
研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image664.gif)
, ………… 7分
因此研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image666.gif)
. ………………………………… 8分
據(jù)等差,研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image668.gif)
, …………… 10分
所以研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image670.gif)
，即研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image672.gif)
,研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image674.gif)
，…………… 12分
即：方程為研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image677.gif)
或研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image679.gif)
. …………………14分
21、解：
（1）因?yàn)?sub>研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image681.gif)
， …………………………2分
所以研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image683.gif)
，滿足條件研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image685.gif)
. …………………3分
又因?yàn)楫?dāng)研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image687.gif)
時(shí)，研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image689.gif)
，所以方程研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image313.gif)
有實(shí)數(shù)根研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image692.gif)
．
所以函數(shù)研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image303.gif)
是集合M中的元素． …………………………4分
（2）假設(shè)方程存在兩個(gè)實(shí)數(shù)根研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image695.gif)
），
則研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image697.gif)
，……………………………………5分
不妨設(shè)研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image699.gif)
，根據(jù)題意存在數(shù)研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image701.gif)
使得等式研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image703.gif)
成立， ………………………7分
因?yàn)?sub>研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image705.gif)
，所以研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image707.gif)
，與已知研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image301.gif)
矛盾，
所以方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根；………………………10分
（3）不妨設(shè)研考試數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image711.gif)
，因?yàn)?sub>
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