題目列表(包括答案和解析)
（本題滿分16分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分。
已知函數
的反函數。定義：若對給定的實數
，函數
與
互為反函數，則稱滿足“
和性質”；若函數
與
互為反函數，則稱滿足“積性質”。
（1） 判斷函數
是否滿足“1和性質”，并說明理由； 
（2） 求所有滿足“2和性質”的一次函數；
（3） 設函數
對任何
，滿足“積性質”。求的表達式。
（本題滿分16分）本題共有3個小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分6分，
第3小題滿分7分．
已知雙曲線
．
（1）求雙曲線
的漸近線方程；
（2）已知點
的坐標為
．設
是雙曲線上的點，
是點關于原點的對稱點．
記
．求
的取值范圍；
（3）已知點
的坐標分別為
，為雙曲線上在第一象限內的點．記
為經過原點與點的直線，
為
截直線所得線段的長．試將表示為直線的斜率
的函數．
（本題滿分16分）本題共有3個小題
，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分、第3小題滿分6分．
設
，常數
，定義運算“
”：
，定義運算“
”：
；對于兩點
、
，定義
.
(1)若
，求動點
的軌跡
；
(2)已知直線
與(1)中軌跡交于、兩點，若
，試求
的值；
(3)在(2)中條件下，若直線
不過原點且與
軸交于點S，與
軸交于點T，并且與(1)中軌跡交于不同兩點P、Q , 試求
的取值范圍．
（本題滿分16分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分.
已知函數
的反函數.定義：若對給定的實數
，函數
與
互為反函數，則稱滿足“
和性質”；若函數
與
互為反函數，則稱滿足“積性質”.
（1） 判斷函數
是否滿足“1和性質”，并說明理由；
（2） 求所有滿足“2和性質”的一次函數；
（3） 設函數
對任何
，滿足“積性質”.求的表達式.
（本題滿分16分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分4分，第3小題滿分8分。
已知雙曲線C的中心是原點，右焦點為F
，一條漸近線m:
，設過點A
的直線l的方向向量
。
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若過原點的直線
，且a與l的距離為
，求K的值；
（3）證明：當
時，在雙曲線C的右支上不存在點Q，使之到直線l的距離為。
一、填空題
1．-----理科數學.files/image208.gif)
2． -----理科數學.files/image210.gif)
3．2 4．-----理科數學.files/image212.gif)
5. i-----理科數學.files/image214.gif)
100 6．-----理科數學.files/image216.gif)
7． 2
8． -----理科數學.files/image218.gif)
9． -----理科數學.files/image220.gif)
10． -----理科數學.files/image222.gif)
11． -----理科數學.files/image224.gif)
12．-----理科數學.files/image226.gif)
二、選擇題
13． -----理科數學.files/image228.gif)
14．A 15．A． 16． D
三、解答題
17．
（1）由題意可得：-----理科數學.files/image106.gif)
=5----------------------------------------------------------（2分）
由：-----理科數學.files/image230.gif)
得：-----理科數學.files/image111.gif)
=314---------------------------------------（4分）
或：-----理科數學.files/image232.gif)
，-----理科數學.files/image234.gif)
（2）方法一：由：-----理科數學.files/image236.gif)
或-----理科數學.files/image238.gif)
------（1分）
-----理科數學.files/image240.gif)
或-----理科數學.files/image242.gif)
---------（1分）
得：-----理科數學.files/image244.gif)
0.0110-----------------------------------------------------------------（1分）
方法二：由：-----理科數學.files/image246.gif)
得：-----理科數學.files/image248.gif)
-----------------------------------------------------------------（1分）
由：-----理科數學.files/image113.gif)
點和-----理科數學.files/image115.gif)
點的縱坐標相等，可得點和點關于-----理科數學.files/image133.gif)
點對稱
即：-----理科數學.files/image253.gif)
------------------------------------------------------------（1分）
得：0.011-----------------------------------------------------------------------（1分）
18．（1）-----理科數學.files/image255.gif)
，-----理科數學.files/image257.gif)
是等腰三角形，
-----理科數學.files/image259.jpg)
又是-----理科數學.files/image135.gif)
的中點，-----理科數學.files/image263.gif)
，--------------（1分）
又-----理科數學.files/image265.gif)
底面-----理科數學.files/image267.gif)
．-----理科數學.files/image269.gif)
．----（2分）
-----理科數學.files/image271.gif)
-------------------------------（1分）
于是-----理科數學.files/image273.gif)
平面-----理科數學.files/image143.gif)
．----------------------（1分）
（2）過作-----理科數學.files/image277.gif)
，連接-----理科數學.files/image279.gif)
----------------（1分）
-----理科數學.files/image281.gif)
平面，
-----理科數學.files/image284.gif)
，-----------------------------------（1分）
-----理科數學.files/image286.gif)
平面-----理科數學.files/image147.gif)
，---------------------------（1分）
-----理科數學.files/image289.gif)
就是直線-----理科數學.files/image145.gif)
與平面所成角。---（2分）
在-----理科數學.files/image291.gif)
中，-----理科數學.files/image293.gif)
-----理科數學.files/image295.gif)
----------------------------------（2分）
所以，直線與平面所成角-----理科數學.files/image297.gif)
--------（1分）
19．解：
（1）函數-----理科數學.files/image158.gif)
的定義域為-----理科數學.files/image299.gif)
；------------------------------------（1分）
當-----理科數學.files/image301.gif)
時-----理科數學.files/image303.gif)
；當-----理科數學.files/image305.gif)
時；--------------------------------------------------（1分）
所以，函數在定義域上不是單調函數，------------------（1分）
所以它不是“類函數” ------------------------------------------------------------------（1分）
（2）當-----理科數學.files/image162.gif)
小于0時，則函數-----理科數學.files/image160.gif)
不構成單調函數；（1分）
當=0時，則函數-----理科數學.files/image308.gif)
單調遞增，
但在上不存在定義域是-----理科數學.files/image152.gif)
值域也是的區間---------------（1分）
當大于0時，函數在定義域里單調遞增，----（1分）
要使函數是“類函數”，
即存在兩個不相等的常數-----理科數學.files/image310.gif)
，-----理科數學.files/image312.gif)
使得-----理科數學.files/image314.gif)
同時-----理科數學.files/image316.gif)
成立，------------------------------------（1分）
即關于-----理科數學.files/image077.gif)
的方程-----理科數學.files/image319.gif)
有兩個不相等的實根，--------------------------------（2分）
-----理科數學.files/image321.gif)
，--------------------------------------------------------------------------（1分）
亦即直線-----理科數學.files/image323.gif)
與曲線-----理科數學.files/image325.gif)
在上有兩個不同的交點，-（1分）
所以，-----理科數學.files/image327.gif)
-------------------------------------------------------------------------------（2分）
20．解：
（1）-----理科數學.files/image329.gif)
-----理科數學.files/image331.gif)
若-----理科數學.files/image333.gif)
，由-----理科數學.files/image335.gif)
，得數列-----理科數學.files/image173.gif)
構成等比數列------------------（3分）
若-----理科數學.files/image337.gif)
，-----理科數學.files/image339.gif)
，數列不構成等比數列--------------------------------------（1分）
（2）由-----理科數學.files/image341.gif)
，得：-----理科數學.files/image343.gif)
-------------------------------------（1分）
-----理科數學.files/image345.gif)
---------------------------------------------------------（1分）
-----理科數學.files/image347.gif)
----------------------------------------------（1分）
-----理科數學.files/image349.gif)
-----理科數學.files/image351.gif)
-----理科數學.files/image353.gif)
----（1分）
-----理科數學.files/image355.gif)
------------------------------------------------------------------（1分）
-----理科數學.files/image357.gif)
---------------------------------------------------------------------（1分）
（3）若對任意-----理科數學.files/image187.gif)
，不等式-----理科數學.files/image189.gif)
恒成立，
即：-----理科數學.files/image359.gif)
-----理科數學.files/image361.gif)
-------------------------------------------（1分）
令：-----理科數學.files/image363.gif)
，當-----理科數學.files/image365.gif)
時，-----理科數學.files/image367.gif)
有最大值為0---------------（1分）
令：-----理科數學.files/image369.gif)
-----理科數學.files/image371.gif)
------------------------------------------------------（1分）
當-----理科數學.files/image373.gif)
時
-----理科數學.files/image375.gif)
-----理科數學.files/image377.gif)
---------------------------------------------------------（1分）
所以，數列-----理科數學.files/image379.gif)
從第二項起單調遞減
當-----理科數學.files/image381.gif)
時，-----理科數學.files/image383.gif)
取得最大值為1-------------------------------（1分）
所以，當-----理科數學.files/image385.gif)
時，不等式恒成立---------（1分）
21． 解：
（1）雙曲線-----理科數學.files/image191.gif)
焦點坐標為-----理科數學.files/image387.gif)
，漸近線方程-----理科數學.files/image389.gif)
---（2分）
雙曲線-----理科數學.files/image195.gif)
焦點坐標，漸近線方程-----理科數學.files/image392.gif)
----（2分）
（2）-----理科數學.files/image393.jpg)
得方程:-----理科數學.files/image395.gif)
-------------------------------------------（1分）
設直線分別與雙曲線的交點-----理科數學.files/image397.gif)
、 的坐標分別為-----理科數學.files/image400.gif)
-----理科數學.files/image402.gif)
，線段 中點為坐標為-----理科數學.files/image405.gif)
-----理科數學.files/image407.gif)
----------------------------------------------------------（1分）
-----理科數學.files/image408.jpg)
得方程:-----理科數學.files/image410.gif)
----------------------------------------（1分）
設直線分別與雙曲線的交點、 的坐標分別為-----理科數學.files/image415.gif)
-----理科數學.files/image417.gif)
，線段 中點為坐標為-----理科數學.files/image420.gif)
-----理科數學.files/image422.gif)
---------------------------------------------------（1分）
由-----理科數學.files/image424.gif)
，-----------------------------------------------------------（1分）
所以，線段-----理科數學.files/image201.gif)
與-----理科數學.files/image203.gif)
不相等------------------------------------（1分）
（3）
若直線-----理科數學.files/image011.gif)
斜率不存在，交點總個數為4；-------------------------（1分）
若直線斜率存在，設斜率為，直線方程為-----理科數學.files/image427.gif)
直線與雙曲線：
-----理科數學.files/image428.jpg)
得方程:-----理科數學.files/image430.gif)
①
直線與雙曲線：
-----理科數學.files/image431.jpg)
得方程: -----理科數學.files/image433.gif)
②-----------（1分）
的取值
直線與雙曲線右支的交點個數
直線與雙曲線右支的交點個數
交點總個數
-----理科數學.files/image435.gif)
1個（交點-----理科數學.files/image437.gif)
）
1個（交點-----理科數學.files/image439.gif)
）
2個
-----理科數學.files/image441.gif)
1個（-----理科數學.files/image443.gif)
，-----理科數學.files/image445.gif)
）
1個（，-----理科數學.files/image447.gif)
）
2個
-----理科數學.files/image449.gif)
1個（與漸進線平行）
1個（理由同上）
2個
-----理科數學.files/image451.gif)
2個（，方程①兩根都大于2）
1個（理由同上）
3個
-----理科數學.files/image453.gif)
2個（理由同上）
1個（與漸進線平行）
3個
-----理科數學.files/image455.gif)
2個（理由同上）
2個（，方程②
兩根都大于1）
4個
得：-------------------------------------------------------------------（3分）
由雙曲線的對稱性可得：
的取值
交點總個數
-----理科數學.files/image457.gif)
2個
-----理科數學.files/image459.gif)
2個
-----理科數學.files/image461.gif)
3個
-----理科數學.files/image463.gif)
3個
-----理科數學.files/image465.gif)
4個
得：-------------------------------------------------------------------（2分）
綜上所述：（1）若直線斜率不存在，交點總個數為4；
（2）若直線斜率存在，當-----理科數學.files/image467.gif)
時，交點總個數為2個；當-----理科數學.files/image469.gif)
或-----理科數學.files/image471.gif)
時，交點總個數為3個；當或時，交點總個數為4個；---------------（1分）
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