題目列表(包括答案和解析)
在四棱錐
中，
平面
，底面為矩形，
.
（Ⅰ）當
時，求證：
；
（Ⅱ）若
邊上有且只有一個點
，使得
，求此時二面角
的余弦值.
【解析】第一位女利用線面垂直的判定定理和性質定理得到。當a=1時，底面ABCD為正方形，
又因為
,
………………2分
又
，得證。
第二問，建立空間直角坐標系，則B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)……4分
設BQ=m，則Q(1，m,0)(0《m《a》
要使
，只要
所以
，即
………6分
由此可知時，存在點Q使得
當且僅當m=a-m，即m=a/2時，BC邊上有且只有一個點Q，使得
由此知道a=2, 設平面POQ的法向量為
,所以
平面PAD的法向量
則
的大小與二面角A-PD-Q的大小相等所以
因此二面角A-PD-Q的余弦值為
解：(Ⅰ)當時，底面ABCD為正方形，
又因為,又
………………3分
(Ⅱ) 因為AB,AD,AP兩兩垂直，分別以它們所在直線為X軸、Y軸、Z軸建立坐標系，如圖所示，
則B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)…………4分
設BQ=m，則Q(1，m,0)(0《m《a》要使，只要
所以，即………6分
由此可知時，存在點Q使得
當且僅當m=a-m，即m=a/2時，BC邊上有且只有一個點Q，使得由此知道a=2,
設平面POQ的法向量為
,所以 平面PAD的法向量
則的大小與二面角A-PD-Q的大小相等所以
因此二面角A-PD-Q的余弦值為
如圖是某直三棱柱(側棱與底面垂直)被削去上底后的直觀圖與三視圖的側視圖、俯視圖．在直觀圖中，M是BD的中點．側視圖是直角梯形，俯視圖是等腰直角三角形，有關數據如圖所示．
(1)求證：EM∥平面ABC；
(2)試問在棱DC上是否存在點N，使NM⊥平面BDE？若存在，確定點N的位置；若不存在，請說明理由．
(3)求二面角D－EB－A的大小的余弦值．
如圖是某直三棱柱（側棱與底面垂直）被削去上底后的直觀圖與三視
圖的側視圖、俯視圖．在直觀圖中，
是
的中點.側視圖是直角梯形，俯視圖是等腰直角三角形，有關數據如圖所示.
（1）求證：EM∥平面ABC；
（2）試問在棱DC上是否存在點N，使NM⊥平面
？
若存在，確定點N的位置；若不存在，請說明理由.
(3)求二面角D—EB—A的大小的余弦值.
在△ABC中，
為三個內角
為三條邊，
且
（I）判斷△ABC的形狀；
（II）若
，求
的取值范圍．
【解析】本題主要考查正余弦定理及向量運算
第一問利用正弦定理可知，邊化為角得到
所以得到B=2C，然后利用內角和定理得到三角形的形狀。
第二問中，
得到。
（1）解：由及正弦定理有：
∴B=2C，或B+2C
，若B=2C，且
，∴
，
；∴B+2C，則A=C，∴
是等腰三角形。
（2）
△ABC中，D在邊BC上，且BD＝2，DC＝1，∠B＝60o，∠ADC＝150o，求AC的長及△ABC的面積。
【解析】本試題主要考查了余弦定理的運用。利用由題意得
,
，
并且
有
得到結論。
解：（Ⅰ）由題意得,………1分…………1分
（Ⅱ）………………1分
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