Question

【題目】小明家的門框上裝有一把防盜門鎖(如圖1)其平面結構圖如圖2所示，鎖身可以看成由兩條等弧和矩形組成，的圓心是倒鎖按鈕點．其中的弓高．當鎖柄繞著點旋轉至位置時，門鎖打開，此時直線與所在圓相切，且則的長度約為____________．(結果精確到，參考數據:)．

Answer 1

【答案】

【解析】

作QT⊥PN于T，MW⊥NQ于W，連接BM，設HM交BC于K，求出BM＝5，MK＝3，然后，求出DE＝NG＝8，TQ＝12，NT＝9，TP＝6，PQ＝，然后再根據平行線分線段成比例定理和同角三角函數求出SN，SM即可解決問題．

解：如圖，作QT⊥PN于T，MW⊥NQ于W，連接BM，設HM交BC于K．

由等弧可知：的弓高為2cm，，

設BM＝rcm，在Rt△BMK中，則有r2＝42＋（r2）2，

解得r＝5，

∴BM＝5，MK＝3，

∵DN∥PQ，

∴∠DNE＝∠P，

∵NP＝NQ，

∴∠P＝∠NQP，

∴∠DNE＝∠NQP，

∴tan∠DNE＝tan∠NQP＝2＝，

∵NE＝DG＝4cm，

∴DE＝NG＝8cm，

設PT＝xcm，則tan∠P＝tan∠NQP＝2＝，

∴TQ＝2x，

在Rt△NTQ中，則有152＝（15x）2＋（2x）2，

解得x＝6，

∴TQ＝12cm，NT＝9cm，TP＝6cm，PQ＝cm，

∵直線PQ與所在的圓相切，作MF⊥PQ于F，則MF＝5，

延長PQ交NM的延長線于S，

∵TQ∥SN，

∴，即，

∴SN＝30cm，

∵sin∠S＝，

∴，

∴SM＝cm，

∴MN＝SNSM＝（30）cm，

∴AB＝GN＋MN＋MK＝8＋30＋3＝41≈29.8cm，

故答案為：29.8．