Question

【題目】如圖，在△ABC中，BC＞AC，點E在BC上，CE=CA，點D在AB上，連接DE，∠ACB+∠ADE=180°，作CH⊥AB，垂足為H．

（1）如圖a，當∠ACB=90°時，連接CD，過點C作CF⊥CD交BA的延長線于點F．

①求證：FA=DE；

②請猜想三條線段DE，AD，CH之間的數量關系，直接寫出結論；

（2）如圖b，當∠ACB=120°時，三條線段DE，AD，CH之間存在怎樣的數量關系？請證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）①證明見解析；②DE+AD=2CH；（2）AD+DE=CH．

【解析】

試題分析：（1）①根據ASA證明△AFC≌△EDC，可得結論；

②結論是：DE+AD=2CH，根據CH是等腰直角△FCD斜邊上的中線得：FD=2CH，再進行等量代換可得結論；

（2）如圖b，根據（1）作輔助線，構建全等三角形，證明△FAC≌△DEC得AF=DE，FC=CD，得等腰△FDC，由三線合一的性質得CH，是底邊中線和頂角平分線，得直角△CHD，利用三角函數得出HD與CH的關系，從而得出結論．

試題解析：（1）①∵CF⊥CD，∴∠FCD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠FCA+∠ACD=∠ACD+∠DCE，∴∠FCA=∠DCE，∵∠FAC=90°+∠B，∠CED=90°+∠B，∴∠FAC=∠CED，∵AC=CE，∴△AFC≌△EDC，∴FA=DE，②DE+AD=2CH，理由是：

∵△AFC≌△EDC，∴CF=CD，∵CH⊥AB，∴FH=HD，在Rt△FCD中，CH是斜邊FD的中線，∴FD=2DH，∴AF+AD=2CH，∴DE+AD=2CH；

（2）AD+DE=CH，理由是：

如圖b，作∠FCD=∠ACB，交BA延長線于F，∵∠FCA+∠ACD=∠ACD+∠DCB，∴∠FCA=∠DCB，∵∠EDA=60°，∴∠EDB=120°，∵∠FAC=120°+∠B，∠CED=120°+∠B，∴∠FAC=∠CED，∵AC=CE，∴△FAC≌△DEC，∴AF=DE，FC=CD，∵CH⊥FD，∴FH=HD，∠FCH=∠HCD=60°，在Rt△CHD中，tan60°=，∴DH=CH，∵AD+DE=AD+AF=FD=2DH=CH，即：AD+DE=CH．