Question

【題目】如圖1，△ABC中，AC＝，∠ACB＝45°，tanB＝3，過點A作BC的平行線，與過C且垂直于BC的直線交于點D，一個動點P從B出發，以每秒1個單位長度的速度沿BC方向運動，過點P作PE⊥BC，交折線BA－AD于點E，以PE為斜邊向右作等腰直角三角形PEF，設點P的運動時間為t秒（t＞0）．

（1）當點F恰好落在CD上時，此時t的值為 ；

（2）若P與C重合時運動結束，在整個運動過程中，設等腰直角三角形PEF與四邊形ABCD重疊部分的面積為S，請求出S與t之間的函數關系式，并寫出自變量t的取值范圍；

（3）如圖2，在點P開始運動時，BC上另一點Q同時從點C出發，以每秒2個單位長度沿CB方向運動，當Q到達B點時停止運動，同時點P也停止運動，過Q作QM⊥BC交射線CA于點M，以QM為斜邊向左作等腰直角三角形QMN，若點P運動到t秒時，兩個等腰直角三角形分別有一條邊恰好落在同一直線上，請直接寫出t的值．

Answer 1

【答案】（1）7.5；（2） ；（3）2、4、

【解析】

（1）當點F落在CD上時，如圖1所示，可知△DEF、△PCF均為等腰直角三角形，利用幾何圖形性質求出的長，進而 求出t的值；

（2）點P的運動過程，可分為三種情形，在點P運動過程中： ①當0≤t＜3時，如圖2-1，利用銳角三角函數求解 的長，直接利用面積公式寫函數關系式，當3≤t＜時，如圖2-2，利用三角函數求解 的長，直接利用面積公式寫函數關系式，當≤t≤12時，如圖2-3所示，利用等腰直角三角形的性質求解的長度，利用梯形面積公式寫函數關系式；

（3）點P、Q的運動過程，滿足題意條件的有三種情形，①當EF與NQ落在同一直線上時，得△PEQ為等腰直角三角形，利用等腰三角形性質及的長列方程求解，如圖3-1所示．當PF與MN落在同一直線上時，如圖3-2所示，得△PQF為等腰直角三角形，利用等腰三角形性質及的長列方程求解，③當PE與QM落在同一直線上時，如圖3-3所示，直接利用長度列方程求解即可．

解：（1）由題意可知，△ACD為等腰直角三角形，

∴AD=CD= =

如圖1，過點A作AG⊥BC于點G，

則△ACG為等腰直角三角形．

∴AG=CG==

在Rt△ABG中， tanB

∴BC=BG+CG=3+9=12．

為等腰直角三角形，

當點F落在CD上時，△DEF、△PCF均為等腰直角三角形，

∴DE=DF= EF，PC=CF=PF．

∵△PEF為等腰直角三角形，EF=PF，

∴PC=CF=DF=CD=，

∴BP=BC-PC=12-=

∴當點F恰好落在CD上時，t=s．

（2）在點P運動過程中： ①當0≤t＜3時，如圖2-1所示．

PE=BPtanB=3t，

S=

②當3≤t＜時，如圖2-2所示．

S=

③當≤t≤12時，如圖2-3所示．

設EF、PF分別與CD交于點K、J，

同理可得△DEK、△PCJ均為等腰直角三角形，

∴DK=CJ=PC=12-t，

KJ=CD-DK-CJ=

∴S=（KJ+PE）PC=（2t-15+9）（12-t）=．

綜上所述，S與t之間的函數關系式為：

（3）在點P、Q的運動過程中：

①當EF與NQ落在同一直線上時，如圖3-1所示．

此時，△PEQ為等腰直角三角形，則PQ=PE=3t．

∴BC=BP+PQ+CQ=t+3t+2t=12， ∴t= 2 s；

②當PF與MN落在同一直線上時，如圖3-2所示．

此時，△PQF為等腰直角三角形，則PQ=QF=CQ=2t．

∴BC=BP+PQ+CQ=t+2t+2t=12， ∴t=s；

③當PE與QM落在同一直線上時，如圖3-3所示．

∴BC=BP+CQ=t+2t=12， ∴t=4 s．

綜上所述，滿足條件的t的值為：或或．