【題目】已知，AB、AC為圓O的弦，連接CO并延長，交AB于點D，且∠ADC=2∠C；
（1）如圖1，求證：AD=CO；
（2）如圖2，取弧BC上一點E，連接EB、EC、ED，且∠EDA=∠ECA，延長EB至點F，連接FD，若∠EDF-∠F=60°，求∠BDF的度數；
（3）如圖3，在（2）的條件下，若CD=10，
，求AC的長度．
【答案】（1）見解析；（2）30°；（3）
【解析】
（1）利用三角形外角的性質結合已知即可求得∠ADC=∠DOA，從而證得AD=CO；
（2）設
，則
，利用等角的余角相等證得∠EBA=∠EDB，根據三角形內角和定理通過計算即可求得答案；
（3）作出輔助線，證得
為等邊三角形，利用ASA證得
，根據平角的定義求得
，設
，在
中，根據勾股定理可求得
，在
中，根據勾股定理即可求解．
（1）連接
，
∵OC=OA，
∴∠C=∠OAC，
∴∠DOA=∠C=∠OAC=2∠C，
∵∠ADC=2∠C，
∴∠ADC=∠DOA，
∴AD=OA=OC；
（2）設，則，
∴
，
∵
，
又∵∠ECA+∠EBA=180
，∠EDA+∠EDB=180，
∴∠EBA=∠EDB，
∴
，
∴
；
（3）延長
交
于
，連接
、
、
、
，
作
，
，
∵
，
，
∴
，
∴為等邊三角形，
，
∴∠EBG=∠EDF，
∵
，
，
∴(ASA)，
∴
，
∴
，
∵
，
又∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
設，
∴
，
中，
，
∴
，
∴或
（舍，此時
），
在
和
中，
∵
，
，
∴
(HL)，
∴
，
∵
，
∴
．
培優三好生系列答案
優化作業上海科技文獻出版社系列答案科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】四邊形
是
的內接四邊形，
，
，垂足為
．
（1）如圖1，求證：
；
（2）如圖2，點
在
的延長線上，且
，連接
、
，求證：
；
（3）如圖3，在（2）的條件下，若
，
，求
的值．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】閱讀下面的材料：
如果函數 y＝f（x）滿足：對于自變量 x 的取值范圍內的任意 x1，x2，
（1）若 x1＜x2，都有 f（x1）＜f（x2），則稱 f（x）是增函數；
（2）若 x1＜x2，都有 f（x1）＞f（x2），則稱 f（x）是減函數．
例題：證明函數f（x）＝
（x＞0）是減函數．
證明：設 0＜x1＜x2，
f（x1）﹣f（x2）＝
．
∵0＜x1＜x2，
∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0．
∴
＞0．即 f（x1）﹣f（x2）＞0．
∴f（x1）＞f（x2）．
∴函數 f（x）= （x＞0）是減函數．
根據以上材料，解答下面的問題：
已知函數
．
f（﹣1）＝
+（﹣2）＝-1，f（﹣2）＝ +（﹣4）＝
．
（1）計算：f（﹣3）＝ ，f（﹣4）＝ ；
（2）猜想：函數是 函數（填“增”或“減”）；
（3）請仿照例題證明你的猜想．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2﹣4ax﹣6（a＞0）與x軸交于A，B兩點，且OB＝3OA，與y軸交于點C，拋物線的頂點為D，對稱軸與x軸交于點E．
（1）求該拋物線的解析式，并直接寫出頂點D的坐標；
（2）如圖2，直線y＝
+n與拋物線交于G，H兩點，直線AH，AG分別交y軸負半軸于M，N兩點，求OM+ON的值；
（3）如圖1，點P在線段DE上，作等腰△BPQ，使得PB＝PQ，且點Q落在直線CD上，若滿足條件的點Q有且只有一個，求點P的坐標．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】為了解某市九年級學生學業考試體育成績，現從中隨機抽取部分學生的體育成績
進行分段（A：50分；B：49-45分；C：44-40分；D：39-30分；E：29-0分）統計如下：
根據上面提供的信息，回答下列問題：
（1）在統計表中，a的值為 ▲ ，b的值為 ▲ ，并將統計圖補充完整（溫馨提示：作圖時別忘了用0.5毫米及以上的黑色簽字筆涂黑）；
（2）甲同學說：“我的體育成績是此次抽樣調查所得數據的中位數. ”請問：甲同學的體育成績應在什么分數段內？ ▲ （填相應分數段的字母）
（3）如果把成績在40分以上（含40分）定為優秀，那么該市今年10440名九年級學生中體育成績為優秀的學生人數約有多少名？
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，四邊形ABCD的外接圓為⊙O，AD是⊙O的直徑，過點B作⊙O的切線，交DA的延長線于點E，連接BD，且∠E＝∠DBC．
（1）求證：DB平分∠ADC；
（2）若CD＝9，tan∠ABE＝
，求⊙O的半徑．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】 “六一”前夕質監部門從某超市經銷的兒童玩具、童車和童裝中共抽查了300件兒童用品，以下是根據抽查結果繪制出的不完整的統計表和扇形圖；
類別 | 兒童玩具 | 童車 | 童裝 |
抽查件數 | 90 |
請根據上述統計表和扇形提供的信息，完成下列問題：
（1）分別補全上述統計表和統計圖；
（2）已知所抽查的兒童玩具、童車、童裝的合格率分別為90%、88%、80%，若從該超市的這三類兒童用品中隨機購買一件，買到合格品的概率是多少？
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，矩形 ABCD 的對角線 AC 與 BD 交于點 O，點 E 在 AD 上，且 DE=CD，連接 OE，BE， ABE 
ACB ，若 AE=2，則 OE 的長為___________．
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