Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝x2+bx+c交x軸于A，B兩點，交y軸于點C，直線y＝x﹣3經過B，C兩點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P是第四象限內拋物線上的動點，過點P作PD⊥x軸于點D，交直線BC于點M，連接AC，過點M作MN⊥AC于點N，設點P的橫坐標為t．

①求線段MN的長d與t之間的函數關系式（不要求寫出自變量t的取值范圍）；

②點Q是平面內一點，是否存在一點P，使以B，C，P，Q為頂點的四邊形為矩形？若存在，請直接寫出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）①；②存在，t＝1或．

【解析】

（1）首先求出點B、C的坐標，然后利用待定系數法求出拋物線的解析式；

（2）①根據S△ABC＝S△AMC+S△AMB，由三角形面積公式可求y與m之間的函數關系式；

②把拋物線的解析式化成頂點式，求得頂點坐標，過點C作CE⊥PD于點E，分兩種情況討論：如圖1，當BC為矩形的邊時，根據矩形的性質得到P（t，﹣3﹣t），代入拋物線的解析式，求得t＝1；如圖2，當BC為矩形的對角線時，證得△CPE∽△PBD，得出CEBD＝PEPD，由CE＝t，BD＝3﹣t，PD＝﹣t2+2t+3＝﹣（t+1）（t﹣3）．PE＝PD﹣DE＝﹣t2+2t﹣3＝﹣t2+2t＝﹣t（t﹣2），列出t（3﹣t）＝t（t﹣2）（t+1）（t﹣3），解得即可．

（1）由直線y＝x﹣3過B，C兩點，得B（3，0），C（0，﹣3），

將點B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c中，

得

解得

故拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3；

（2）①對于y＝x2﹣2x﹣3，

當y＝0時，x2﹣2x﹣3＝0，

解得x1＝﹣1，x2＝3，

∴A（﹣1，0）

∴OA＝1，

∵OB＝OC＝3，

∴∠OBC＝∠BCO＝45°，AC＝，AB＝4．

連接AM．

∵PD⊥x軸于點D，

∴∠DMB＝∠GBM＝45°．

又∵點P的橫坐標為t，

∴DM＝DB＝3﹣t．

∵S△ABC＝S△AMC+S△AMB，

∴

即

∴

②存在，t＝1或，

∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，

∴拋物線的頂點坐標為（1，﹣4），

過點C作CE⊥PD于點E．

如圖（1），當BC為矩形的邊時，

由∠BCP＝90°，∠BCE＝45°，可得∠EPC＝∠ECP＝45°，

∴PE＝CE＝t，

∴P（t，﹣3﹣t）．

將P（t，﹣3﹣t）代入y＝x2﹣2x﹣3，

得﹣3﹣t＝t2﹣2t﹣3，

解得t1＝0（不合題意，舍去），t2＝1．

如圖（2），當BC為矩形的對角線時，

∵∠PCE+∠CPE＝90°，∠CPE+∠BPD＝90°，

∴∠PCE＝∠BPD，

∴△CPE∽△PBD，

∴，即CEBD＝PEPD．

∵點P的橫坐標為t．

∴CE＝t，BD＝3﹣t，PD＝﹣t2+2t+3＝﹣（t+1）（t﹣3）．PE＝PD﹣DE＝﹣t2+2t﹣3＝﹣t2+2t＝﹣t（t﹣2），

故t（3﹣t）＝t（t﹣2）（t+1）（t﹣3），

整理，得t2﹣t﹣1＝0，

解得（不合題意，舍去）．

綜上可知，t的值為1或．