Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，動點E從點A出發沿著線段AB向終點B運動，速度為每秒3個單位長度，過點E作EF⊥AB交直線AC于點F，連結CE．設點E的運動時間為t秒．

（1）當點F在線段AC上（不含端點）時，

①求證：△ABC∽△AFE；

②當t為何值時，△CEF的面積為1.2；

（2）在運動過程中，是否存在某時刻t，使△CEF為等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①見解析；②秒或1秒；（2）存在，秒或秒

【解析】

（1）①根據相似三角形的判定解答即可；

②過點 C 作 CH⊥AB 于 H，利用相似三角形的性質和三角形面積公式解答即可；

（2）根據等腰三角形的判定分兩種情況解答．

解：（1）當點 F 在線段 AC 上時，

①證明如下：∵EF⊥AB，

∴∠AEF＝90°

在△ABC 中，∠ACB＝90°

∴∠ACB＝∠AEF 又∵∠A＝∠A

∴△ABC∽△AFE

②當 t 秒時，AE＝3t， 由①得△ABC∽△AFE

∴，即，

∴FE＝4t

在 Rt△ABC 中，AB＝，

過點 C 作 CH⊥AB 于 H，如圖 1：

由面積法可得：

∴

∴

＝

．

令，

解得：，

經檢驗，符合題意．

答：當 t 為秒或 1 秒時，△CEF 的面積為 1.2．

（2）存在，理由如下：

i）當點 F 在線段 AC 上時（0＜t＜），

∵∠CFE＝∠AEF+∠A＞90°，

∴當△CEF 為等腰三角形時，只能是 FC＝FE，

由②可知：FE＝4t，

∴AF＝5t，FC＝4t，

∴5t+4t＝6，

∴t＝．

ii）當點 F 在線段 AC 的延長線上時（＜t），如圖 2，

∵∠FCE＝∠FCB+∠ECB＞90°，

∴當△CEF 為等腰三角形時，只能是 FC＝EC，

此時∠F＝∠CEF，

∵EF⊥AB，

∴∠AEF＝90°，即∠CEA+∠CEF＝90°， 又∠F+∠A＝90°

∴∠CEA＝∠A，

∴CE＝AC＝6，

∴FC＝6，

∴AF＝12， 即 5t＝12

∴

綜上所述，t 的值為秒或秒時，△CEF 為等腰三角形．