Question

【題目】如圖△ABC中，BC=AC，以BC為直徑的⊙O與邊AB相交于點D，DE⊥AC，垂足為點E．

（1）求證：點D是AB的中點；

（2）求證：DE與⊙O相切；

（3）若BC=18，AB=12，求DE的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）DE=4．

【解析】（1）連接CD，由BC為直徑可知CD⊥AB，又BC=AC，由等腰三角形的底邊“三線合一”證明結論；

（2）連接OD，則OD為△ABC的中位線，OD∥AC，已知DE⊥AC，可證DE⊥OC，證明結論；

（3）利用勾股定理即可得出答案．

（1）證明：連結CD，如圖，

∵BC為直徑，

∴∠BDC=90°，

∴CD⊥AB，

∵AC=BC，

∴AD=BD，

即點D是AB的中點；

（2）解：DE與⊙O相切．理由如下：

連結OD，

∵AD=BD，OC=OB，

∴OD為△ABC的中位線，

∴OD∥AC，

而DE⊥AC，

∴DE⊥OD，

∴DE為⊙O的切線．

（3）解：∵AB=12，BD=AD，

∴AD=6，

∵CA=CB=18，

在Rt△ADC中，DC==12，

∵DE⊥AC，

∴ADCD=ACDE，

∴DE==4 ．