【題目】（2017山東省泰安市）如圖，四邊形ABCD中，AB=AC=AD，AC平分∠BAD，點P是AC延長線上一點，且PD⊥AD．
（1）證明：∠BDC=∠PDC；
（2）若AC與BD相交于點E，AB=1，CE：CP=2：3，求AE的長．
【答案】（1）證明見解析；（2）
．
【解析】試題（1）直接利用等腰三角形的性質結合互余的定義得出∠BDC=∠PDC；
（2）首先過點C作CM⊥PD于點M，進而得出△CPM∽△APD，求出EC的長即可得出答案．
試題解析：解：（1）∵AB=AD，AC平分∠BAD，∴AC⊥BD，∴∠ACD+∠BDC=90°．∵AC=AD，∴∠ACD=∠ADC，∴∠ADC+∠BDC=90°．∵PD⊥AD，∴∠ADC+∠PDC=90°，∴∠BDC=∠PDC；
（2）過點C作CM⊥PD于點M，∵∠BDC=∠PDC，∴CE=CM，∵∠CMP=∠ADP=90°，∠P=∠P，∴△CPM∽△APD，∴
，設CM=CE=x，∵CE：CP=2：3，∴PC=
x，∵AB=AD=AC=1，∴
，解得：x=
，故AE=1﹣=．
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【題目】某超市計劃購進甲、乙兩種型號的節能燈共1000只，這兩種節能燈的進價、售價如下表：
進價（元/只） | 售價（元/只） | |
甲型 | 25 | 30 |
乙型 | 45 | 60 |
（1）如果進貨款恰好為37000元，那么可以購進甲型節能燈多少只？
（2）超市為慶祝元旦進行大促銷活動，決定對乙型節能燈進行打折銷售，要求全部售完后，乙型節能燈的利潤率為20%，請問乙型節能燈需打幾折？
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【題目】如圖所示，
中，
是
邊上一點，
是
的中點，過點
作的平行線交
的延長線于
，且
，連接
．
（1）求證：是的中點；
（2）若
，試判斷四邊形
的形狀，并證明你的結論．
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【題目】某地區教育部門為了解初中數學課堂中學生參與情況，并按“主動質疑、獨立思考、專注聽講、講解題目”四個項目進行評價．檢測小組隨機抽查部分學校若干名學生，并將抽查學生的課堂參與情況繪制成如圖所示的扇形統計圖和條形統計圖（均不完整）．請根據統計圖中的信息解答下列問題：
（1）本次抽查的樣本容量是 ；
（2）在扇形統計圖中，“主動質疑”對應的圓心角為 度；
（3）將條形統計圖補充完整；
（4）如果該地區初中學生共有60000名，那么在課堂中能“獨立思考”的學生約有多少人？
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【題目】小知識：如圖，我們稱兩臂長度相等（即
）的圓規為等臂圓規. 當等臂圓規的兩腳擺放在一條直線上時，若張角
，則底角
.
請運用上述知識解決問題：
如圖，
個相同規格的等臂圓規的兩腳依次擺放在同一條直線上，其張角度數變化如下：
，
， 
，
，…
(1)、①由題意可得
= ；
②若
平分
，則
= ；
(2)、
= （用含
的代數式表示）；
(3)、當
時，設
的度數為
，
的角平分線
與
構成的角的度數為
，那么與之間的等量關系是 ，請說明理由. （提示：可以借助下面的局部示意圖）
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【題目】如圖，點
、
、
、
分別是四邊形
邊
、
、
、
的中點．則下列說法：①若
，則四邊形
為矩形；②若
，則四邊形為菱形；③若四邊形是平行四邊形，則
與
互相平分；④若四邊形是正方形，則與互相垂直且相等．其中正確的個數是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【題目】喜迎新年,某社區超市第一次用5000元購進甲、乙兩種商品,其中甲商品件數是品的件數的2倍,甲、乙兩種商品的進價和售價如下表:
甲 | 乙 | |
進價（元/件） | 15 | 20 |
售價（元/件） | 30 | 30 |
（1）該超市將第一次購進的甲、乙兩種商品全部賣完后一共可獲得多少利潤?
（2）能市第二次以第一次的進價又購進甲、乙兩種商品,其中購進乙種商品的件數不變，購進甲種商品的件數是第一次購進甲種商品件數的2倍;乙商品按原價銷售,甲商品打折銷售，第二次兩種商品都銷售完以后獲得的總利潤比第一次獲得的總利潤多600元，求第二次甲種商品按原價打幾折銷售?
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【題目】如圖，已知A，B是反比例函數y=
（k＞0，x＞0）圖象上的兩點，BC∥x軸，交y軸于點C，動點P從坐標原點O出發，沿O→A→B→C（圖中“→”所示路線）勻速運動，終點為C，過P作PM⊥x軸，垂足為M．設三角形OMP的面積為S，P點運動時間為t，則S關于x的函數圖象大致為（ ）
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【題目】已知圖中的每個方格都是邊長為1的小正方形，每個小正方形的頂點稱為格點，△ABC的頂點在格點上，稱為格點三角形，請按要求完成下列各題
（1）填空：
AB＝ ，BC＝ ，AC＝ ；
（2）試判斷△ABC的形狀，并說明理由．
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