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2025年一本通武漢出版社九年級數學上冊北師大版核心板
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1. 有一組
鄰邊
相等的
平行四邊形
叫菱形；
2. 菱形的四條邊
相等
；菱形的對角線
互相垂直平分
；
3. 菱形的面積等于兩條
對角線
乘積的
一半
.
答案：【解析】：
本題主要考察菱形的性質，包括菱形的定義、邊和對角線的性質以及面積的計算方法。
1. 菱形的定義是有一組鄰邊相等的平行四邊形，所以第一個空應填“鄰邊”，第二個空應填“平行四邊形”。
2. 菱形的性質包括四條邊相等，對角線互相垂直且平分每一組對角，所以第一個空應填“相等”，第二個空可以根據菱形的對角線性質填寫“互相垂直且平分每一組對角”，但考慮到題目要求的簡潔性，可以簡化為“互相垂直平分”。
3. 菱形的面積可以通過其對角線來計算，面積等于兩條對角線乘積的一半，所以第一個空應填“對角線”，第二個空應填“一半”。
【答案】：
1. 鄰邊；平行四邊形
2. 相等；互相垂直平分
3. 對角線；一半
1. 菱形具有而一般平行四邊形不具有的性質是 ………………………………………(
D
)
A.對邊相等
B.對角相等
C.對角線互相平分
D.對角線互相垂直
答案：【解析】：
首先，我們需要明確菱形和平行四邊形的性質，然后對比兩者的性質，找出菱形具有而一般平行四邊形不具有的性質。
A. 對邊相等：這是平行四邊形和菱形都具有的性質，因此不是菱形獨有的性質。
B. 對角相等：這也是平行四邊形和菱形都具有的性質，因此不是菱形獨有的性質。
C. 對角線互相平分：這同樣是平行四邊形和菱形都具有的性質，因此不是菱形獨有的性質。
D. 對角線互相垂直：這是菱形具有的性質，而一般的平行四邊形并不具有。在平行四邊形中，只有當它是正方形或菱形時，對角線才會互相垂直。
因此，通過對比和分析，我們可以確定菱形具有而一般平行四邊形不具有的性質是對角線互相垂直。
【答案】：
D. 對角線互相垂直。
2. 如圖,在菱形ABCD中,對角線AC,BD交于點O,下列說法錯誤的是 …(
B
)
A.AB//DC
B.AC= BD
C.AC⊥BD
D.OA= OC
答案：【解析】：
本題考查菱形的性質。
菱形的性質有：
菱形的四條邊都相等；
菱形的對角線互相垂直且平分；
菱形的對角相等，兩鄰角互補；
菱形的對邊平行。
根據這些性質，我們可以逐一判斷選項的正確性：
A選項：菱形的對邊平行，即$AB// DC$，所以A選項是正確的。
B選項：菱形的對角線并不一定相等，即$AC$不一定等于$BD$，所以B選項是錯誤的。
C選項：菱形的對角線互相垂直，即$AC\perp BD$，所以C選項是正確的。
D選項：菱形的對角線互相平分，即$OA=OC$，$OB=OD$，所以D選項是正確的。
【答案】：B。
3. (24濟南)如圖,在菱形ABCD中,AE⊥CD,垂足為E,CF⊥AD,垂足為F. 求證：AF= CE.
答案：證明：
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD=CD，∠D=∠D（公共角）。
∵AE⊥CD，CF⊥AD，
∴∠AED=∠CFD=90°。
在△AED和△CFD中，
∠AED=∠CFD，
∠D=∠D，
AD=CD，
∴△AED≌△CFD（AAS）。
∴DE=DF。
∵AD=CD，
∴AD - DF = CD - DE，即AF=CE。
4. 如圖,在菱形ABCD中,AC,BD相交于點O,在圖中有幾個直角三角形？分別是哪些？
(1)若∠BAD= 60°,求∠BAC的度數和∠ABD的度數；
(2)若AC= 8,BD= 6,求菱形的面積和周長.
答案：【解析】：本題主要考查了菱形的性質，包括菱形對角線互相垂直且平分，以及利用菱形對角線性質計算相關角度和邊長，進而求出菱形的面積和周長。
（1）根據菱形對角線的性質，菱形的對角線互相垂直且平分，所以可得出直角三角形的個數和名稱；再利用菱形對角線平分一組對角以及已知的$\angle BAD = 60^{\circ}$，求出$\angle BAC$和$\angle ABD$的度數。
（2）根據菱形對角線的性質，菱形的面積等于對角線乘積的一半，可求出菱形面積；再利用勾股定理求出菱形的邊長，進而求出周長。
【答案】：解：
(1)
∵四邊形$ABCD$是菱形，$AC$，$BD$相交于點$O$，
∴$AC\perp BD$，$AB = BC = CD = DA$，$AC$平分$\angle BAD$，$BD$平分$\angle ABC$等（菱形的性質：對角線互相垂直且平分，每條對角線平分一組對角）。
∴圖中有$\triangle AOB$，$\triangle BOC$，$\triangle COD$，$\triangle DOA$，這$4$個直角三角形。
∵$AC$平分$\angle BAD$，$\angle BAD = 60^{\circ}$，
∴$\angle BAC=\frac{1}{2}\angle BAD = 30^{\circ}$。
∵四邊形$ABCD$是菱形，
∴$AD// BC$，
∴$\angle ABC + \angle BAD = 180^{\circ}$（兩直線平行，同旁內角互補），
∴$\angle ABC = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$。
∵$BD$平分$\angle ABC$，
∴$\angle ABD=\frac{1}{2}\angle ABC = 60^{\circ}$。
(2)
∵四邊形$ABCD$是菱形，$AC = 8$，$BD = 6$，
∴$AO=\frac{1}{2}AC = 4$，$BO=\frac{1}{2}BD = 3$（菱形的對角線互相平分）。
∵$AC\perp BD$，
∴在$Rt\triangle AOB$中，根據勾股定理$AB = \sqrt{AO^{2} + BO^{2}}=\sqrt{4^{2} + 3^{2}} = 5$。
∵菱形的四條邊相等，
∴菱形的周長為$4× AB = 4×5 = 20$。
菱形的面積為$\frac{1}{2}AC\cdot BD=\frac{1}{2}×8×6 = 24$。
綜上，圖中直角三角形有$4$個，分別是$\triangle AOB$，$\triangle BOC$，$\triangle COD$，$\triangle DOA$；$\angle BAC$的度數為$30^{\circ}$，$\angle ABD$的度數為$60^{\circ}$；菱形的面積為$24$，周長為$20$。
