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2025年學習指要九年級數學上冊人教版
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1. 只含有
一
個未知數,且未知數的最高次數是
2
的整式方程叫做一元二次方程。
思考 一個方程是一元二次方程必須滿足哪些條件？
2. 一元二次方程的一般形式為
ax2+bx+c=0（a≠0）
。
3. 使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的解,也叫做一元二次方程的
根
。
答案：1. 一；2；條件：整式方程，只含一個未知數，未知數最高次數是2。2. ax2+bx+c=0（a≠0）。3. 根。
解析：
1. 一元二次方程定義：只含一個未知數，未知數最高次數是2的整式方程。條件：整式方程、一個未知數、最高次數2。
2. 一般形式為ax2+bx+c=0（a≠0）。
3. 方程的解也叫根。
練習 (1)方程$-x^{2}+6x= 3$含有
1
個未知數,含有未知數的最高次數是
2
,它
是
(“是”或“不是”)一元二次方程。
(2)將一元二次方程$x(x - 1)= 3$化為一般形式為
$x^{2}-x-3=0$
,其中二次項系數為
1
,一次項系數為
-1
,常數項為
-3
。
(3)若關于$x的一元二次方程x^{2}-mx+6= 0的一個根為x= -1$,則$m= $
-7
。
答案：
(1)1；2；是
(2)$x^{2}-x-3=0$；1；-1；-3
(3)-7
例1 若關于$x的方程(m - 1)x^{m^{2}+1}-3x= 0$是一元二次方程,則$m= $
$-1$
。
名師導引 一個方程是一元二次方程必須滿足四個條件：(1)是整式方程；(2)只含有一個未知數；(3)未知數的最高次數是2；(4)二次項系數不為0。
答案：答題卡：
根據題意，方程 $(m - 1)x^{m^{2} + 1} - 3x = 0$ 是一元二次方程，必須滿足以下條件：
$m^{2} + 1 = 2$，
$m - 1 \neq 0$，
解第一個方程 $m^{2} + 1 = 2$，得到 $m^{2} = 1$，即 $m = \pm 1$。
然后考慮第二個條件 $m - 1 \neq 0$，排除 $m = 1$ 這個解。
所以，唯一滿足條件的 $m$ 值是 $m = -1$。
故答案為：$-1$。
變式訓練 (1)下列方程中是一元二次方程的是
④
(填序號)：①$y= 2x^{2}+4$；②$ax^{2}+2x - 1= 0$；③$x+\frac{2}{x}= 2$；④$x^{2}-1= 0$；⑤$3x+2= 0$。
(2)方程$x^{2}= -2x+8$化為一元二次方程的一般形式后,二次項系數、一次項系數、常數項分別是(
C
)
A. $1$,$-2$,$8$
B. $-1$,$2$,$8$
C. $1$,$2$,$-8$
D. $1$,$2$,$8$
答案：
(1)
④
(2)
將方程$x^{2}=-2x + 8$移項可得$x^{2}+2x - 8 = 0$，所以二次項系數、一次項系數、常數項分別是$1$，$2$，$-8$，答案選C。
例2 (1)若$x= 2是一元二次方程x^{2}-3x+k= 0$的一個根,則$k$的值為(
B
)
A. $1$
B. $2$
C. $-1$
D. $-2$
(2)已知關于$x的一元二次方程(a - 1)x^{2}-2x+a^{2}-1= 0的一個根為x= 0$,則$a= $
$-1$
。
名師導引 根據方程根的定義,將方程的根代入原方程即可求出某些字母或相關代數式的值。
答案：
(1)
將$x = 2$代入方程$x^{2}-3x + k = 0$，得：
$2^{2}-3×2 + k = 0$
$4 - 6 + k = 0$
$k = 2$
所以答案選B。
(2)
把$x = 0$代入方程$(a - 1)x^{2}-2x+a^{2}-1 = 0$，得：
$a^{2}-1 = 0$
則$a=\pm1$。
又因為方程$(a - 1)x^{2}-2x+a^{2}-1 = 0$是一元二次方程，所以$a - 1\neq0$，即$a\neq1$。
所以$a=-1$。
綜上，答案依次為：
(1)B；
(2)$-1$。
變式訓練 若$x= 2是關于x的方程mx^{2}-nx= 6$的解,則$2028 - 2m+n$的值為
2025
。
答案：因為$x = 2$是方程$mx^2 - nx = 6$的解，所以將$x = 2$代入方程得：$m×2^2 - n×2 = 6$，即$4m - 2n = 6$。兩邊同時除以$2$，得$2m - n = 3$。則$2028 - 2m + n = 2028 - (2m - n) = 2028 - 3 = 2025$。
2025
