Question

【題目】已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn).

(1)求橢圓的方程；

(2)若過點(diǎn)且斜率為k的直線l與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)A,B，試問在x軸上是否存在點(diǎn)，使是與無關(guān)的常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2)答案見解析.

【解析】

(1)由題意結(jié)合橢圓的離心率和橢圓的性質(zhì)可得，則橢圓方程為.

(2)假設(shè)在x軸上存在點(diǎn)M(m,0),使是與k無關(guān)的常數(shù)，設(shè)直線L方程為，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，設(shè)，結(jié)合韋達(dá)定理可得，設(shè)常數(shù)為t=，討論計(jì)算可得，即在x軸上存在點(diǎn)M()，使是與k無關(guān)的常數(shù).

(1)∵橢圓離心率為，∴，∴.

又∵橢圓過點(diǎn)(，1)，代入橢圓方程，得.

所以.

∴橢圓方程為，即.

(2)在x軸上存在點(diǎn)M，使是與k無關(guān)的常數(shù).

證明：假設(shè)在x軸上存在點(diǎn)M(m,0),使是與k無關(guān)的常數(shù)，

∵直線L過點(diǎn)C(-1，0)且斜率為k,∴L方程為，

由得.

設(shè)，則,

∵

∴

=

=

=

=

設(shè)常數(shù)為t，則

整理得對(duì)任意的k恒成立，

，解得，

即在x軸上存在點(diǎn)M()，使是與k無關(guān)的常數(shù).