Question

【題目】已知函數，

（Ⅰ）若函數在處的切線方程為，求， 的值；

（Ⅱ）若， 求函數的零點的個數.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）先求出的導數，由， ，可解得；（Ⅱ）先確定函數至少一個零點，在分五種情況討論: ， ， ， , ,分別利用導數研究函數的單調性，利用單調性求出函數的最值與極值，結合函數圖象可得各種情況下函數的零點的個數.

試題解析：（Ⅰ） 的導數為， ，

，解得

（Ⅱ），易得有一個零點為

令，

（1）若，則，無零點，所以函數只有一個零點；

（2）若，則

①若，則所以單調遞增，而， ，

所以有一個零點，所以有兩個零點；

②若，由，知， ，所以在單調遞減，

在單調遞增；所以函數的最小值為

（ⅰ）當即時， ，所以無零點，

所以函數只有一個零點

（ⅱ）當時，即，所以有一個零點，所以函數有兩個零點

（ⅲ）當時，即時， ，所以有兩個零點，所以函數有三個零點

綜上，當或時，函數只有一個零點；當或時，函數有兩個零點；當時，函數有三個零點

（利用函數圖像的交點個數討論酌情給分）