Question

【題目】已知橢圓的中心在原點，對稱軸為坐標軸，橢圓與直線相切于點．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若直線： 與橢圓相交于、兩點（， 不是長軸端點），且以為直徑的圓過橢圓在軸正半軸上的頂點，求證：直線過定點，并求出該定點的坐標．

Answer 1

【答案】(1) ；(2)答案見解析.

【解析】試題分析：（1）利用點在橢圓上及相切關系布列方程組，即可解得橢圓的標準方程；

（2）聯立方程易得： ， ，以為直徑的圓過橢圓在軸正半軸上的頂點，∴，即或，經檢驗得到結果.

試題解析：

法一（Ⅰ）由題意設橢圓的標準方程為（， 且）

∵在橢圓上，∴ ①

由得

∵橢圓與直線相切，∴，

即②

由①②知，

故所求橢圓方程為

法二：設橢圓為（， 且）則它在點處的切線為，它與表示同一直線，∴， ，∴，

故所求橢圓方程為.

(Ⅱ)設， ，聯立

得

得

，

，

因為以為直徑的圓過橢圓的上頂點

∴即

∴

即

即

即

∴或

當時，直線過定點與已知矛盾

當時，直線過定點滿足

所以，直線過定點，定點坐標為