Question

在△ABC中，已知|BC|=4，BC的中點在坐標原點，點B的坐標是（-2，0），AB⊥AC，
（1）求動點A的軌跡方程；
（2）若直線l：mx-y+2m-2=0與點A的軌跡恰有一個公共點，求m的值；
（3）若（2）中m的值是函數 f（x）=x²+sinα•x+n的零點，求tan(

3π

2

-α)的值．

Answer 1

分析：（1）通過直線的垂直得到斜率的乘積是-1，化簡可得動點A的軌跡方程；
（2）利用圖象推出直線l：mx-y+2m-2=0與點A的軌跡恰有一個公共點，直接求m的值；
（3）通過（2）中m的值是函數 f（x）=x²+sinα•x+n的零點，通過α所在象限直接求tan(

3π

2

-α)的值即可．

解答：（14分）解：（1）由已知，C（2，0），設動點A的坐標為（x，y），
則直線AB、AC的斜率分別為kAB=

y

x+2

，kAC=

y

x-2

，
∵AB⊥AC，k_AC•k_AB=-1
∴

y

x+2

•

y

x-2

=-1，化簡得x²+y²=4，由已知△ABC，有x≠±2，否則A、B、C共線，
∴動點的軌跡方程是：x²+y²=4（x≠±2）．
（2）直線l的方程即為m（x+2）-（y+2）=0，則它經過定點P（-2，-2），
∵直線l：mx-y+2m-2=0與點A的軌跡恰有一個公共點，
∴直線l經過點C（2，0）或點D（0，-2）（如圖所示）
∴m（2+2）-（0+2）=0或m（0+2）-（-2+2）=0
解得m=

1

2

或m=0…（9分）
（3）∵m的值都是函數 f（x）=x²+sinα•x+n的零點
∴

1

2

和0是方程x²+sinα•x+n=0的解
∴

1

2

+0=-sinα，故sinα=-

1

2

…（10分）
①當α是第三象限角時，cosα=-

1-sin2α

=-

1-(- 1 2 )2

=-

3

2

，
∴tan(

3π

2

-α)=tan(

π

2

-α)=

sin( π 2 -α)

cos( π 2 -α)

=

cosα

sinα

=

- 3 2

- 1 2

=

3

…（12分）
②當α是第四象限角時，cosα=

3

2

∴tan(

3π

2

-α)=

cosα

sinα

=

3 2

- 1 2

=-

3

…（14分）．

點評：本題考查軌跡方程的求法，數形結合以及分類討論思想的應用，考查分析問題解決問題的能力．