Question

【題目】在三棱錐中，，分別是線段，的中點(diǎn)，底面是正三角形，延長到點(diǎn)，使得.

（1）為線段上確定一點(diǎn)，當(dāng)平面時(shí)，求的值；

（2）當(dāng)平面，且時(shí)，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）解三角形求得，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理得到，根據(jù)平行線等分線段求得的值.

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)平面和平面的法向量，求得二面角的余弦值.

（1）在正中，為線段的中點(diǎn)，故

在中，，故

在中，，故，故

因?yàn)?/span>平面，過的平面平面，

所以

因?yàn)?/span>是線段的中點(diǎn)，所以為線段的中點(diǎn).

從而.

（2）因?yàn)?/span>平面，，所以，，兩兩垂直.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸，

建立空間直角坐標(biāo)系.記，

則，，，

又，所以.于是，，.

令平面的一個(gè)法向量為，

則由得，

令，得.而平面的一個(gè)法向量為，

所以，

故二面角的余弦值為.