Question

【題目】已知橢圓()的左、右焦點分別是，，點為的上頂點，點在上，，且.

（1）求的方程；

（2）已知過原點的直線與橢圓交于，兩點，垂直于的直線過且與橢圓交于，兩點，若，求.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）設，由已知，求得的坐標為，代入橢圓方程，得；再由，求得，結合，求出值，即可求得結論；

（2）先討論直線斜率不存在和斜率為0的情況，驗證不滿足條件，設直線的方程為，與橢圓方程聯立，消元，由韋達定理和相交弦長公式，求出；

再將直線方程與橢圓聯立，求出，由求出的值，進而求出，再求出點到直線的距離，即可求解.

（1）設橢圓的焦距為，∵，

∴的坐標為.∵在上，

將代人，得.

又∵，∴，

∴.又∵，

∴，，的方程為.

（2）當直線的斜率不存在時，，，不符合題意；

當直線的斜率為0時，，，也不符合題意.

∴可設直線的方程為,

聯立得，

則，.

.

由得或

∴.

又∵，∴，∴，

∴.∵到直線的距離，

∴.