【題目】某工廠為生產一種標準長度為
的精密器件，研發了一臺生產該精密器件的車床，該精密器件的實際長度為
，“長度誤差”為
，只要“長度誤差”不超過
就認為合格．已知這臺車床分晝、夜兩個獨立批次生產，每天每批次各生產
件．已知每件產品的成本為
元，每件合格品的利潤為
元．在晝、夜兩個批次生產的產品中分別隨機抽取
件，檢測其長度并繪制了如下莖葉圖：
（1）分別估計在晝、夜兩個批次的產品中隨機抽取一件產品為合格品的概率；
（2）以上述樣本的頻率作為概率，求這臺車床一天的總利潤的平均值.
【答案】（1）晝、夜批次合格品概率估計值分別為
、
；（2）
元.
【解析】
（1）分別計算出晝、夜批次
個樣本中合格品的個數，據此可求得這兩個批次中合格品的概率；
（2）分別計算出晝、夜批次
件產品的利潤，相加即可得出結果.
（1）由樣本數據可知，在晝批次的個樣本中有
個不合格品，有
個合格品，合格品的比率為
，因此晝批次合格品概率估計值為.
在夜批次的個樣本中有
個不合格品，有
個合格品，合格品的比率為
，因此夜批次合格品概率估計值為；
（2）晝批次合格品的概率為，不合格品的概率為
，所以件產品中合格品的均值為
件，不合格品的均值為
件，所以利潤為
（元）；
夜批次合格品的概率為，不合格品的概率為
，所以件產品中合格品的均值為
件，不合格品的均值為
件，所以利潤為
（元）．
故這臺車床一天的總利潤的平均值為
（元）.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角梯形
中， 
， 
， 
， 
分別為
， 
的中點，以
為圓心， 
為半徑的圓交
于
，點
在弧
上運動（如圖）.若
，其中
， 
，則
的取值范圍是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】第七屆世界軍人運動會于2019年10月18日至27日在中國武漢舉行，中國隊以133金64銀42銅位居金牌榜和獎牌榜的首位.運動會期間有甲、乙等五名志愿者被分配到射擊、田徑、籃球、游泳四個運動場地提供服務，要求每個人都要被派出去提供服務，且每個場地都要有志愿者服務，則甲和乙恰好在同一組的概率是（ ）
A.
B.
C.
D.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某種產品的質量以其質量指標值衡量，并依據質量指標值劃分等級如下表：
從某企業生產的這種產品中抽取200件，檢測后得到如下的頻率分布直方圖：
(1)根據以上抽樣調查數據，能否認為該企業生產的這種產品符合“一、二等品至少要占全部產品
”的規定？
(2)在樣本中，按產品等級用分層抽樣的方法抽取8件，再從這8件產品中隨機抽取4件，求抽取的4件產品中，一、二、三等品都有的概率；
(3)該企業為提高產品質量，開展了“質量提升月”活動，活動后再抽樣檢測，產品質量指標值
近似滿足
，則“質量提升月”活動后的質量指標值的均值比活動前大約提升了多少？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，正方形
的邊長為
為正三角形，平面
平面，
是線段
的中點，
是線段
上的動點.
（1）探究
四點共面時，點位置，并證明；
（2）當四點共面時，求
到平面
的距離.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設數列
對任意
都有
（其中
、
、
是常數） .
（Ⅰ）當
，
，
時，求
；
（Ⅱ）當
，
，
時，若
，
，求數列的通項公式；
（Ⅲ）若數列中任意（不同）兩項之和仍是該數列中的一項，則稱該數列是“封閉數列”.當，，時，設
是數列的前
項和，
，試問：是否存在這樣的“封閉數列”，使得對任意，都有
，且
.若存在，求數列的首項
的所有取值；若不存在，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖1，四邊形
為直角梯形，
，
，
，
，
，
為線段
上一點，滿足
，
為
的中點，現將梯形沿折疊（如圖2），使平面
平面
.
（1）求證：平面
平面
；
（2）能否在線段
上找到一點
（端點除外）使得直線
與平面
所成角的正弦值為
？若存在，試確定點的位置；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，直線
的參數方程為
（
為參數，
為直線的傾斜角），以坐標原點
為極點，以
軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
.
（1）寫出曲線的直角坐標方程，并求
時直線的普通方程；
（2）直線和曲線交于
、
兩點，點
的直角坐標為
，求
的最大值.
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