Question

【題目】如圖1，四邊形為直角梯形，，，，，，為線段上一點，滿足，為的中點，現將梯形沿折疊（如圖2），使平面平面.

（1）求證：平面平面；

（2）能否在線段上找到一點（端點除外）使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，試確定點的位置；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）存在點是線段的中點，使得直線與平面所成角的正弦值為.

【解析】

（1）在直角梯形中，根據，，得為等邊三角形，再由余弦定理求得，滿足，得到，再根據平面平面，利用面面垂直的性質定理證明.

（2）建立空間直角坐標系：假設在上存在一點使直線與平面所成角的正弦值為，且，，求得平面的一個法向量，再利用線面角公式求解.

（1）證明：在直角梯形中，，，

因此為等邊三角形，從而，又，

由余弦定理得：，

∴，即，且折疊后與位置關系不變，

又∵平面平面，且平面平面.

∴平面，∵平面，

∴平面平面.

（2）∵為等邊三角形，為的中點，

∴，又∵平面平面，且平面平面，

∴平面，

取的中點，連結，則，從而，以為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系：

則，，則，

假設在上存在一點使直線與平面所成角的正弦值為，且，，

∵，∴，故，

∴，又，

該平面的法向量為，

，

令得，

∴，

解得或（舍），

綜上可知，存在點是線段的中點，使得直線與平面所成角的正弦值為.