Question

已知直線l：y=kx-1與圓C：（x-1）²+y²=1相交于P、Q兩點，點M（0，b）滿足MP⊥MQ．
（Ⅰ）當b=0時，求實數k的值；
（Ⅱ）當b∈(-

1

2

，1)時，求實數k的取值范圍；
（Ⅲ）設A、B是圓C：（x-1）²+y²=1上兩點，且滿足|OA|•|OB|=1，試問：是否存在一個定圓S，使直線AB恒與圓S相切．

Answer 1

分析：（I）當b=0時，M點即為原點，根據圓C的方程：（x-1）²+y²=1，原點（M點）落在圓上，若MP⊥MQ，則PQ為圓C：（x-1）²+y²=1直徑，將圓心坐標代入直線方程，即可求出實數k的值；
（Ⅱ）根據P、Q兩點在直線l：y=kx-1上，設出P，Q兩點的坐標為（X₁，kX₁-1），（X₂，kX₂-1），聯立方程后可以將方程看作是關于x的一元二次方程，根據韋達定理，可將MP⊥MQ轉化為一個k與b的關系式，根據 b∈(-

1

2

，1)時，即可得到實數k的取值范圍．
（Ⅲ）設AB：x=ky+λ，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），進而根據|OA|•|OB|=1，求得y₂•y₁，進而把直線與圓方程聯立，求得y₂•y₁，進而根據原點O到直線AB距離求得d，進而判斷出直線AB恒與圓 S：x2+y2=

1

4

相切．

解答：解：（Ⅰ）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由題設條件可得x₁x₂+y₁y₂=0，將y=kx-1代入圓C：（x-1）²+y²=1得（1+k²）x²-2（1+k）x+1=0，
故有x1+x2=

2+2k

1+k2

，x1x2=

1

1+k2

，
又y₁y₂=（kx₁-1）（kx₂-1）=k²x₁x₂-k（x₁+x₂）+1=

k2

1+k2

-

2k+2k2

1+k2

+1=

1-2k

1+k2

∴

1-2k

1+k2

+

1

1+k2

=0，得k=1；
（Ⅱ）設P，Q兩點的坐標為（X₁，kX₁-1），（X₂，kX₂-1）
則由圓C：（x-1）²+y²=1及直線l：y=kx-1
得（k²+1）x²-2（k+1）x+1=0
則X₁•X₂=

1

k2+1

，X₁+X₂=

2(k+1)

k2+1

則

MP

=（X₁，kX₁-1-b），

MQ

=（X₂，kX₂-1-b）
由MP⊥MQ則
X₁•X₂+（kX₁-1-b）•（kX₂-1-b）=0
即

2k2+2k

k2+1

=(b+1)+

1

(b+1)

∵b∈(-

1

2

，1)，∴

1

2

＜b+1＜2，
∴

2k2+2k

k2+1

=(b+1)+

1

(b+1)

∈[2，

5

2

）
解得k≥1，
故實數k的取值范圍[1，+∞）
（Ⅲ）∵圓C的方程為（x-1）²+y²=1
設AB：x=ky+λ，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由|OA|•|OB|=1 x₁²+y₁²•x₂²+y₂²=1-（x₁-1）²+y₁²•1-（x₂-1）²+y₂²=2x₁•2x₂=1?x₁x₂=

1

4

又∵

(x-1)2+y2=1 x=ky+1

?（k²+1）x²+2（kλ-1）y+λ²=0，
∴x1x2=

λ2

k2+1

=

1

4

?

|λ|

k2+1

=

1

2

，
又原點O到直線AB距離 d=

|λ|

1+k2

∴d=

1

2

，即原點O到直線AB的距離恒為 d=

1

2

∴直線AB恒與圓 S：x2+y2=

1

4

相切．

點評：本題考查的知識點是直線與圓相交的性質，直線與圓的綜合應用，（II）中應用的方法--“聯立方程”+“設而不求”+“韋達定理”是解答直線與圓錐曲線（包括圓）的綜合問題的常用方法，是解答高考壓軸題的關鍵．屬難題．