Question

【題目】已知橢圓過點，且離心率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知圓方程為，過圓上任意一點作圓的切線，切線與橢圓交于，兩點，為坐標原點，設為的中點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由題意，解方程組即可得解；

（2）當切線斜率不存在時，易得；當切線斜率存在時，設切線方程為y＝kx+m，點，點，聯立方程得， ，由切線的性質得m2＝2（1+k2），得到關于k的表達式，當時，，利用基本不等式即可得解.

（1）橢圓過點，且離心率為，

，解得，

橢圓的方程為.

（2）由題得圓的圓心為，半徑為，

當切線斜率不存在時，切點即為，此時；

當切線斜率存在時，設切線方程為y＝kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），

聯立方程，得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣6＝0，

∴，，

∴∴Q（，），

∵直線AB 與圓O相切，∴，即m2＝2（1+k2），

∴，

當時，；

當時，，

，當且僅當時等號成立，.

綜上，的取值范圍為.