Question

數列{a_n}滿足：a₁=1，且對每個n∈N^*，a_n，a_n+1是方程x2-bnx+(

1

3

)n=0的兩根，則b₂₀₁₀=

2×(

1

3

)1005

．

Answer 1

分析：利用根與系數關系得到數列{a_n}的遞推式及b_n與a_n的關系，由遞推式得到數列{a_n}的奇數項和偶數項均構成等比數列，求出a₂₀₁₀和a₂₀₁₁，則b₂₀₁₀可求．

解答：解：∵a_n，a_n+1是方程x2-bnx+(

1

3

)n=0的兩根，
∴a_n+a_n+1=b_n，anan+1=(

1

3

)n①．
則an-1an=(

1

3

)n-1（n≥2）②．
因為a_n≠0（由第①得）
①÷②得

an+1

an-1

=

1

3

（n≥2）．
∴數列{a_n}的奇數項是首項為1，公比為

1

3

的等比數列，
偶數項是首項為

1

3

，公比為

1

3

的等比數列．
則a2010=

1

3

×(

1

3

)1004=(

1

3

)1005，
a2011=1×(

1

3

)1005=(

1

3

)1005．
∴b₂₀₁₀=a2010+a2011=2×(

1

3

)1005．
故答案為2×(

1

3

)1005．

點評：本題考查了一元二次方程的根與系數的關系，考查了等比關系的確定，考查了等比數列的通項公式，是中檔題．