Question

【題目】已知四邊形是梯形，如圖，，，，為的中點，以為折痕把折起，使點到達點的位置（如圖2），且

（1）求證：平面平面；

（2）求與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）連接，取的中點，連接，，，作于，根據勾股定理逆定理得到，證明平面，得到答案.

（2）以為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，計算平面的一個法向量為，再利用向量夾角公式得到答案.

（1）連接，因為，，，為的中點，，所以四邊形是邊長為1的正方形，且.

取的中點，連接，，，因為，所以，，，

作于，則.

因為，，，所以，故.

因為，所以平面.

因為平面，所以平面平面.

（2）由（1）知平面，.以為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.

因為，所以，，，，，，

設平面的一個法向量為，則得

即，令，則，，所以.

因為，設與平面所成的角為，

則，

即與平面所成角的正弦值為.