Question

【題目】如圖，三棱柱中，側面是菱形，其對角線的交點為，且．

（1）求證：平面；

（2）設，若直線與平面所成的角為，求二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）根據菱形的特征和題中條件得到平面，結合線面垂直的定義和判定定理即可證明；
2建立空間直角坐標系，利用向量知識求解即可．

（1）證明：∵四邊形是菱形，

，

平面

平面，

又是的中點，

，

又

平面

（2）

∴直線與平面所成的角等于直線與平面所成的角．

平面，

∴直線與平面所成的角為，即．

因為，則在等腰直角三角形中，

所以．

在中，由得，

以為原點，分別以為軸建立空間直角坐標系．

則

所以

設平面的一個法向量為，

則，可得，

取平面的一個法向量為，

則，

所以二面角的正弦值的大小為．

（注：問題（2）可以轉化為求二面角的正弦值，求出后，在中，過點作的垂線，垂足為，連接，則就是所求二面角平面角的補角，先求出，再求出，最后在中求出．）