Question

【題目】已知函數(shù)為奇函數(shù)，且的極小值為.為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).

（1）求和的值；

（2）若關(guān)于的方程有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），；（2）

【解析】

（1）由為奇函數(shù)可得，然后將代入中，求出的極小值，根據(jù)的極小值為，可求出，的值；

（2）構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為與軸有三個(gè)交點(diǎn)的問題，根據(jù)的單調(diào)性可得，從而求出的取值范圍．

解：（1）因?yàn)?/span>是奇函數(shù)，

所以恒成立，

則，

所以，

所以，

則，

令，解得或，

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

所以的極小值為，

由，

解得，

所以，，

（2）由（1）可知，，

方程，

即為，

即方程有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，

設(shè)，只要使曲線有3個(gè)零點(diǎn)即可，

設(shè)，

或分別為的極值點(diǎn)，

當(dāng)和時(shí)，

，在和上單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，

在上單調(diào)遞減，

所以，為極大值點(diǎn)，為極小值點(diǎn).

所以要使曲線與軸有3個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)，

即，

解得.

即實(shí)數(shù)的取值范圍為.