Question

【題目】點是直線上的動點，過點的直線、與拋物線相切，切點分別是、.

（1）證明：直線過定點；

（2）以為直徑的圓過點，求點的坐標及圓的方程.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）設點、、，利用導數求出切線、的方程，將點的坐標代入直線、的方程，可得出直線的方程，進而可得出直線所過的定點坐標；

（2）設直線的方程為，將該直線方程與拋物線的方程聯立，列出韋達定理，由題意得出，利用向量數量積的坐標運算，代入韋達定理可求得，進而可得出點的坐標以及圓的標準方程.

（1）設點、、，

對函數求導得，所以，直線的方程為，即，

同理可得直線的方程為，

將點的坐標代入直線、的方程得，

所以，點、的坐標滿足方程，

由于兩點確定一條直線，所以，直線的方程為，該直線過定點；

（2）設直線的方程為，

將直線的方程與拋物線的方程聯立得，則，

由韋達定理得，，

因為在為直徑的圓上，所以，

，同理，

，即，解得或.

當時，，直線的方程為，圓心為，半徑，圓的標準方程為；

當時，，直線的方程為，圓心為，半徑，圓的標準方程為.

綜上所述，當時，，圓的標準方程為；

當時，，圓的標準方程為.