Question

【題目】如圖，已知四棱錐，平面平面，四邊形是菱形，.

（1）若，證明：；

（2）若，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）根據題意，取中點為，通過證明平面進而推證線線垂直；

（2）以對角線的交點為，建立直角坐標系，求出兩個平面的法向量，通過求解法向量的夾角，進而求得二面角的大小.

（1）取的中點，連接，.如下圖所示：

∵，∴.

∵四邊形是菱形，且，

∴，∴.

∵，∴平面，

∴.

又在菱形中，，

∴.

（2）設與交于點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

不妨設，

則，.

，.

由（1）知，

∵平面平面，

∴平面.

則，，，，

，

設平面的法向量為，

∵，∴，

取，得.

設平面的法向量為，

∵，∴，

取，得.

設平面與平面所成銳二面角為，

則.

故平面與平面所成銳二面角的余弦值為.