Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面是梯形．BC∥AD，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2，，

（Ⅰ）證明；AC⊥BP；

（Ⅱ）求直線AD與平面APC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）．

【解析】

(I)取的中點,連接,通過證明平面得出;

(II)以為原點建立坐標系，求出平面的法向量，通過計算與的夾角得出與平面所成角．

（I）證明：取AC的中點M，連接PM，BM，

∵AB＝BC，PA＝PC，

∴AC⊥BM，AC⊥PM，又BM∩PM＝M，

∴AC⊥平面PBM，

∵BP平面PBM，

∴AC⊥BP．

（II）解：∵底面ABCD是梯形．BC∥AD，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2，

∴∠ABC＝120°，

∵AB＝BC＝1，∴AC，BM，∴AC⊥CD，

又AC⊥BM，∴BM∥CD．

∵PA＝PC，CM，∴PM，

∵PB，∴cos∠BMP，∴∠PMB＝120°，

以M為原點，以MB，MC的方向為x軸，y軸的正方向，

以平面ABCD在M處的垂線為z軸建立坐標系M﹣xyz，如圖所示：

則A（0，，0），C（0，，0），P（，0，），D（﹣1，，0），

∴（﹣1，，0），（0，，0），（，，），

設平面ACP的法向量為（x，y，z），則，即，

令x得（，0，1），

∴cos，，

∴直線AD與平面APC所成角的正弦值為|cos，|．