Question

【題目】設函數，.

（1）當時，求函數在點處的切線方程；

（2）是函數的極值點，求函數的單調區間；

（3）在（2）的條件下，，若，，使不等式恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）在上單調遞增，在上單調遞減；（3）

【解析】

(1)求出函數的導數，再求出，，由導數得幾何意義知切線的斜率為且過點，即可寫出直線的點斜式方程；(2)由是函數的極值點可知，求出，令結合定義域即可求出函數的單調區間；(3)令，則題意等價于，利用分析的單調性從而求出最小值為4，所以使得函數，由在有解即可求出的取值范圍.

（1）的定義域為，時，，，

，，所以切線方程為，即.

（2），

是函數的極值點，，可得，

所以，令，即，

解得，結合定義域可知在上單調遞增，在上單調遞減.

（3）令，，，

使得恒成立，等價于，

，

因為，所以，，即，

所以在上單調遞增，，

即使得函數，即轉化為在有解，

，所以，.