Question

【題目】已知函數，其中.

（Ⅰ）若，求函數的極值；

（Ⅱ）設.若在上恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）極小值0，無極大值；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ），令，得到的單調性即可得到極值；

（Ⅱ）在上恒成立，可構造函數，，令，，分，，討論即可.

當時，

則，

令

解得(舍去)，.

當時，

在上單調遞減；

當時，

在上單調遞增，的極小值為，無極大值.

若在上恒成立，

即在上恒成立.

構造函數，

則

令.

若可知恒成立.

在上單調遞增.

.

當即時，

在上恒成立，即在上恒成立.

在上恒成立，滿足條件.

當即時，

，

存在唯一的使得.

當時，即

在單調遞減.

，這與矛盾.

若由

可得(舍去)，

易知在上單調遞減.

在上恒成立，

即在上恒成立.

在上單調遞減.

在上恒成立，這與矛盾.

綜上，實數的取值范圍為.