Question

【題目】某動漫影視制作公司長期堅持文化自信，不斷挖掘中華優秀傳統文化中的動漫題材，創作出一批又一批的優秀動漫影視作品，獲得市場和廣大觀眾的一致好評，同時也為公司贏得豐厚的利潤.該公司年至年的年利潤關于年份代號的統計數據如下表（已知該公司的年利潤與年份代號線性相關）.

年份
年份代號
年利潤（單位：億元）

（Ⅰ）求關于的線性回歸方程，并預測該公司年（年份代號記為）的年利潤；

（Ⅱ）當統計表中某年年利潤的實際值大于由（Ⅰ）中線性回歸方程計算出該年利潤的估計值時，稱該年為級利潤年，否則稱為級利潤年.將（Ⅰ）中預測的該公司年的年利潤視作該年利潤的實際值，現從年至年這年中隨機抽取年，求恰有年為級利潤年的概率.

參考公式：，.

Answer 1

【答案】（Ⅰ），該公司年年利潤的預測值為億元；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）求出和的值，將表格中的數據代入最小二乘法公式，求得和的值，進而可求得關于的線性回歸方程，然后將代入回歸直線方程，可得出該公司年年利潤的估計值；

（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回歸直線方程計算出從年至年這年被評為級利潤年的年數，然后利用組合計數原理結合古典概型的概率可得出所求事件的概率.

（Ⅰ）根據表中數據，計算可得，，，

又，，

，關于的線性回歸方程為.

將代入回歸方程得（億元），

該公司年的年利潤的預測值為億元.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知年至年的年利潤的估計值分別為、、、、、、、（單位：億元），其中實際利潤大于相應估計值的有年.

故這年中被評為級利潤年的有年，評為級利潤年的有年.

記“從年至年這年的年利潤中隨機抽取年，恰有年為級利潤年”的概率為，.