Question

【題目】如圖，已知正三棱錐P-ABC的側(cè)面是直角三角形，PA=6，頂點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的正投影為點(diǎn)D，D在平面PAB內(nèi)的正投影為點(diǎn)E，連結(jié)PE并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G.

（Ⅰ）證明：G是AB的中點(diǎn)；

（Ⅱ）在圖中作出點(diǎn)E在平面PAC內(nèi)的正投影F（說明作法及理由），并求四面體PDEF的體積．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）作圖見解析，體積為.

【解析】試題分析：證明由可得是的中點(diǎn).（Ⅱ）在平面內(nèi)，過點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)， 即為在平面內(nèi)的正投影.根據(jù)正三棱錐的側(cè)面是直角三角形且，可得在等腰直角三角形中，可得四面體的體積

試題解析：（Ⅰ）因?yàn)?/span>在平面內(nèi)的正投影為，所以

因?yàn)?/span>在平面內(nèi)的正投影為，所以

所以平面，故

又由已知可得， ，從而是的中點(diǎn).

（Ⅱ）在平面內(nèi)，過點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)， 即為在平面內(nèi)的正投影.

理由如下：由已知可得 ， ，又,所以,因此平面，即點(diǎn)為在平面內(nèi)的正投影.

連結(jié)，因?yàn)?/span>在平面內(nèi)的正投影為，所以是正三角形的中心.

由（Ⅰ）知， 是的中點(diǎn)，所以在上，故

由題設(shè)可得平面， 平面，所以，因此

由已知，正三棱錐的側(cè)面是直角三角形且，可得

在等腰直角三角形中，可得

所以四面體的體積