Question

【題目】設函數.

（1）討論函數的極值；

（2）若為整數，，且，不等式成立，求整數的最大值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）2

【解析】

（1）求出函數的導數，分為和兩種情形，結合極值的定義即可得結論；

（2）原不等式等價于，令，根據導數和函數的最值的關系即可求出的最值.

（1）由題意可得的定義域為，

當時，恒成立，

∴在上單調遞減，無極值，

當時，令，解得，

當時， 單調遞減，

當時，，單調遞增，

∴在處取得極大值，且極大值為，無極小值，

綜上所述，當時，無極值，

當時，極大值為，無極小值.

（2）把代入可得，

∵，則

∴，

∴

令，

∴，

由（1）可知，當時，在上單調遞減，

故函數在上單調遞增，而

∴在上存在唯一的零點且

故在上也存在唯一的零點且為

當時，，當時，，

∴

由，可得，

∴，∴，

由(*)式等價于，

∴整數的最大值為2.