Question

【題目】設正整數m，n滿足，，，，…，為集各的n元子集，且；

（1）若，滿足；

（i）求證：；

（ii）求滿足條件的集合的個數；

（2）若中至多有一個元素，求證：.

Answer 1

【答案】（1）（i）證明見解析；（1）（ii）；（2）證明見解析

【解析】

（1）（i）設中的個元素滿足，則得到，得到證明.

（1）（ii）從個元素中選不相鄰的個元素，即等價于將剩余的個元素排成一排，

形成空，共有種放法，得到答案.

（2）根據題意知，沒有相同的二元集合，中所有的二元集合個數為，

的二元集合個數為，故，得到證明.

（1）（i）設中的個元素滿足，，滿足，

故，故.

（1）（ii）從個元素中選不相鄰的個元素，即等價于將剩余的個元素排成一排，

形成空，共有種放法，故共有個集合.

（2）根據題意知，沒有相同的二元集合，中所有的二元集合個數為，

的二元集合個數為，故，即.