Question

【題目】記表示，中的最大值，如．已知函數(shù)，．

（1）設(shè)，求函數(shù)在上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（2）試探討是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)恒成立？若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）個(gè)；（2）存在，.

【解析】

試題分析：（1）設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系求出，可得，則，結(jié)合圖象可得零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）可將題意轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立，分別求和成立即可.

試題解析：（1）設(shè)，，

令，得，遞增；令，得，遞減．

∴，∴，即，∴．

設(shè)，結(jié)合與在上圖象可知，這兩個(gè)函數(shù)的圖象在上有兩個(gè)交點(diǎn)，即在上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為．

（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)恒成立，

則對(duì)恒成立，

即對(duì)恒成立，

（i）設(shè)，，

令，得，遞增；令，得，遞減．

∴．

當(dāng)，即時(shí)，，∴，

∵，∴．

故當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立．

當(dāng)，即時(shí)，在上遞減，∴．

∵，∴

故當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立．

（ii）若對(duì)恒成立，則，∴．

由（i）及（ii）得，．

故存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)恒成立，

且的取值范圍為．