Question

已知函數f（x）=x²-4，設曲線y=f（x）在點（x_n，f（x_n））處的切線與x軸的交點為（x_n+1，0）（n∈N*），其中x₁為正實數．
（Ⅰ）用x_n表示x_n+1；
（Ⅱ）若x₁=4，記an=lg

xn+2

xn-2

，證明數列{a_n}成等比數列，并求數列{x_n}的通項公式；
（Ⅲ）若x₁=4，b_n=x_n-2，T_n是數列{b_n}的前n項和，證明T_n＜3．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題設條件知曲線y=f（x）在點（x_n，f（x_n））處的切線方程是y-（x_n²-4）=2x_n（x-x_n）．
由此可知x_n²+4=2x_nx_n+1．所以xn+1=

xn

2

+

2

xn

．

（Ⅱ）由xn+1=

xn

2

+

2

xn

，知xn+1+2=

xn

2

+

2

xn

+2=

(xn+2)2

2xn

，同理xn+1-2=

(xn-2)2

2xn

．
故

xn+1+2

xn+1-2

=(

xn+2

xn-2

)2．由此入手能夠導出xn=

2(32n-1+1)

32n-1-1

．

（Ⅲ）由題設知xn=

2(32n-1+1)

32n-1-1

，所以

bn+1

bn

=

32n-1-1

32n-1

=

1

32n-1+1

＜

1

32n-1

≤

1

321-1

=

1

3

，由此可知T_n＜3（n∈N*）．

解答：解：（Ⅰ）由題可得f′（x）=2x．
所以曲線y=f（x）在點（x_n，f（x_n））處的切線方程是：y-f（x_n）=f′（x_n）（x-x_n）．
即y-（x_n²-4）=2x_n（x-x_n）．
令y=0，得-（x_n²-4）=2x_n（x_n+1-x_n）．
即x_n²+4=2x_nx_n+1．
顯然x_n≠0，∴xn+1=

xn

2

+

2

xn

．

（Ⅱ）由xn+1=

xn

2

+

2

xn

，知xn+1+2=

xn

2

+

2

xn

+2=

(xn+2)2

2xn

，
同理xn+1-2=

(xn-2)2

2xn

，故

xn+1+2

xn+1-2

=(

xn+2

xn-2

)2．
從而lg

xn+1+2

xn+1-2

=2lg

xn+2

xn-2

，即a_n+1=2a_n．所以，數列{a_n}成等比數列．
故an=2n-1a1=2n-1lg

x1+2

x1-2

=2n-1lg3．
即lg

xn+2

xn-2

=2n-1lg3．
從而

xn+2

xn-2

=32n-1
所以xn=

2(32n-1+1)

32n-1-1

（Ⅲ）由（Ⅱ）知xn=

2(32n-1+1)

32n-1-1

，
∴bn=xn-2=

4

32n-1-1

＞0
∴

bn+1

bn

=

32n-1-1

32n-1

=

1

32n-1+1

＜

1

32n-1

≤

1

321-1

=

1

3

當n=1時，顯然T₁=b₁=2＜3．
當n＞1時，bn＜

1

3

bn-1＜(

1

3

)2bn-2＜＜(

1

3

)n-1b1
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n＜b1+

1

3

b1+…+(

1

3

)n-1b1=

b1[1-( 1 3 )n]

1- 1 3

=3-3•(

1

3

)n＜3．
綜上，T_n＜3（n∈N*）．

點評：本題綜合考查數列、函數、不等式、導數應用等知識，以及推理論證、計算及解決問題的能力．