Question

【題目】已知函數且滿足條件：①；②.

(1)求的表達式；

(2)當時，證明:；

(3)若函數，討論在上的零點個數.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析（3）見解析.

【解析】

（1）因為，圖像關于成中心對稱，是奇函數，圖像關于（0，0）成中心對稱，故，求解

（2）由三角函數線的定義直接證明。

（3）先設,轉化為二次函數的零點問題，對值進行分類討論：當， ，。

：（1）因為是奇函數，圖像關于（0，0）成中心對稱，

又因為，圖像關于成中心對稱，

則，即，且，故，

（另：，則）

又，即，故，綜上。

（2）當，，設，即證，

如圖：在單位圓中，由三角函數線知，

則在中，，

即，所以。（另：也可以利用證明！）

（3）設,,注意到，，

當時，得，即，則有2018個零點；

當時，令得，

則有 個零點；

當時，令得，

則有個零點；

當時，令得，

則有個零點；