Question

【題目】已知函數對于任意的實數都有成立，且當時<0恒成立.

（1）判斷函數的奇偶性；

（2）若=-2，求函數在上的最大值；

（3）求關于的不等式的解集.

Answer 1

【答案】（1）奇函數.（2）4（3）

【解析】

（1）對函數進行賦值，求出 ，令y=-x即可根據定義判斷出奇偶性；

（2）由定義法證明其單調性，再由單調性求出給定區間上的最值；

（3）利用奇函數的性質及已知的函數性質，將不等式化為的形式，再利用單調性列出不等式，求出解集.

解：（1）∵的定義域是R關于原點對稱，

令得=0，再令，得

∴是奇函數.

（2）設任意，

由已知得，①

又，②

由①②知，

∴是R上的減函數，

當

∴在上的最大值為4

（3）由已知得：，

由（1）知是奇函數，又恒成立，

上式可化為：

由（2）知是R上的減函數，

∴

∴原不等式的解集為.