Question

【題目】已知以點為圓心的圓C被直線截得的弦長為．

（1）求圓C的標準方程：

（2）求過與圓C相切的直線方程：

（3）若Q是直線上的動點，QR，QS分別切圓C于R，S兩點．試問：直線RS是否恒過定點？若是，求出恒過點坐標：若不是，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）或（3）直線RS恒過定點

【解析】

（1）由弦長可得,進而求解即可；

（2）分別討論直線的斜率存在與不存在的情況,再利用圓心到直線距離等于半徑求解即可；

（3）由QR,QS分別切圓C于R,S兩點,可知,在以為直徑的圓上,設為,則可得到以為直徑的圓的方程,與圓聯立可得,由求解即可

（1）由題,設點到直線的距離為,

則,

則弦長,解得,

所以圓的標準方程為:

（2）當切線斜率不存在時,直線方程為,圓心到直線距離為2,故此時相切；

當切線斜率存在時,設切線方程為,即,

則,解得,

則直線方程為,即,

綜上,切線方程為或

（3）直線RS恒過定點,

由題,,則,在以為直徑的圓上,

設為,

則以為直徑的圓的方程為:,

整理可得,

與圓:聯立可得:,

即,

令,解得,

故無論取何值時,直線恒過定點