Question

【題目】已知函數， ．

（1）當時，求函數的圖象在處的切線方程；

（2）若函數在定義域上為單調增函數．

①求最大整數值；

②證明： ．

Answer 1

【答案】（1）（2）①2②見解析

【解析】試題分析：（1）將代入到函數，再對求導，分別求出和，即可求出切線方程；（2）①若函數在定義域上為單調增函數，則恒成立，則先證明，構造新函數，求出單調性，再同理可證，即可求出的最大整數值；②由①得，令，可得，累加后利用等比數列求和公式及放縮法即可得證.

試題解析：（1）當時，

∴，

又，∴，

則所求切線方程為，即．

（2）由題意知， ，

若函數在定義域上為單調增函數，則恒成立．

①先證明．設，則，

則函數在上單調遞減，在上單調遞增，

∴，即．

同理可證

∴，∴．

當時， 恒成立．

當時， ，即不恒成立．

綜上所述， 的最大整數值為2．

②由①知， ，令，

∴

∴．

由此可知，當時， ．當時， ，

當時， ， ，當時， ．

累加得 ．

又 ，

∴ ．