Question

已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦點為F，A是拋物線上橫坐標為4、且位于x軸上方的點，A到拋物線準線的距離等于5．
（1）求拋物線方程；
（2）過焦點F作傾斜角為45°的直線，交拋物線于A，B兩點，求 A B的中點C到拋物線準線的距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）拋物線，由此能求出拋物線方程．
（2）由點F的坐標是（1，0），知AB的方程為y=x-1，由得x²-6x+1=0．由此能求出AB的中點C到拋物線準線的距離．
解答：解：（1）拋物線，
∴p=2．
∴拋物線方程為y²=4x．…（4分）
（2）∵點F的坐標是（1，0），
所以AB的方程為y=x-1，…（6分）
由消y得x²-6x+1=0…（8分）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=6，
所以C點的橫坐標為x_C=3…（10分）
所以AB的中點C到拋物線準線的距離為x_C+1=4．…（12分）
點評：本題主要考查拋物線標準方程，簡單幾何性質，直線與拋物線的位置關系，拋物線的簡單性質等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．