Question

【題目】若函數的圖像上存在兩個不同的點關于軸對稱，則稱函數圖像上存在一對“偶點”．

（1）寫出函數圖像上一對“偶點”的坐標；（不需寫出過程）

（2）證明：函數圖像上有且只有一對“偶點”；

（3）若函數圖像上有且只有一對“偶點”，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析（3）

【解析】

（1）根據題意即正弦函數的性質即可直接求解；

（2）要證：函數數圖象上有且只有一對“偶點”，只需證：在上有且只有一個零點，結合導數及函數的性質即可證明；

（3）由題意，問題可轉化為函數只有一個零點，結合函數的性質及導數可求．

（1）函數圖像上一對“偶點”的坐標為，

（2）設，

因為的定義域為，且，

所以函數為奇函數，

要證：函數圖像上有且只有一對“偶點”，

只需證：在上有且只有一個零點，

令，得，

所以，函數在上為單調減函數，在上為單調增函數，

，，

所以函數在上有且只有一個零點，

所以函數圖像上有且只有一對“偶點”，

（3）設，，

因為的定義域為，且，

所以函數為奇函數，

因為函數圖像上有且只有一對“偶點”，

所以函數在有且只有一個零點，

，，

①當時，因為，

所以函數在上為單調增函數，所以，

所以函數在無零點，

②當時，由，

得：，

所以函數在上單調減函數，在上單調增函數，

所以，

設，，

所以函數在上單調增函數，在上單調減函數，

所以，所以，

所以，

設，設，

因為，

所以函數在單調增函數，

所以，所以函數在單調增函數，

所以，所以當時，，

，

因為函數在上單調增函數，

所以函數在上有且僅有一個，使得，

綜上：的取值范圍為.