Question

【題目】正四棱柱，中，，E為中點，F為AD中點．

（1）證明：平面；

（2）若直線AC與平面所成的角為，求的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）法1：以A為坐標原點，為軸，為軸，為軸， 建立空間直角坐標系，求出平面的一個法向量，由，證出，再由線面平行的判定定理即可證出；法2：連接交于O，連接EO，OF，證出，且，從而證出，再利用線面平行的判定定理即可證出.

（2）由，，利用即可求解.

（1）法1：以A為坐標原點，為軸，為軸，為軸，

建立空間直角坐標系，

設，則，，，

，，，

故，，，

設平面的法向量

，不妨取，得平面的一個法向量，

，，

又平面，所以平面．

法2：連接交于O，則O為中點．

連接EO，OF．

因為正四棱柱，

所以，且，又因為E為中點，

∴，且．

中，O，F為中點，

∴，且，

∴，且．

∴為平行四邊形，∴，

又平面，平面，所以平面．

（2），則．

直線AC與平面AED，所成的角為，

即，

解得，即的長為．