Question

【題目】已知函數， ．

（1）若函數有三個不同的極值點，求的值；

（2）若存在實數，使對任意的，不等式恒成立，求正整數的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）的取值范圍是；（Ⅱ）正整數的最大值為5．

【解析】試題分析：（Ⅰ）求出的導函數， 有3個極值點等價于方程有3個根；令，根據的單調性可知有3個零點，則，解出的取值范圍即可；（Ⅱ）不等式，即，分離參數得．

轉化為存在實數，使對任意的，不等式恒成立；構造新函數，確定單調性，計算相應函數值的正負，即可求正整數的最大值．

試題解析：（Ⅰ）

∵有3個極值點，∴有3個根

令

在上遞增， 上遞減．

∴有3個零點，∴，∴

（Ⅱ）不等式，即，即．

轉化為存在實數，使對任意的，

不等式恒成立．

即不等式在上恒成立．

即不等式在上恒成立

設，則．

設，則，因為，有．

故在區間上是減函數；

又

故存在，使得．

當時，有，當時，有．

從而在區間上遞增，在區間上遞減

又，

．

所以當時，恒有；當時，恒有；

故使命題成立的正整數的最大值為5.