Question

【題目】如圖，四邊形是矩形，四邊形是梯形, ，平面平面， ， 點是的中點.

（1）求證：∥平面；

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】分析：第一問首先應用三角形的中位線的平行性質找到線線平行的關系，之后借助于線面平行的判定定理證得結果；第二問建立適當的空間直角坐標系，借助于平面的法向量所成角的余弦值，求得二面角的余弦值，在最后確定結果時需要判斷法向量的方向，是其補角還是其本身.

詳解：（1）證明：連結，交于點，∴點是的中點.

∵點是的中點，∴是△的中位線. ∴

∵平面，平面，∴平面

（2）四邊形 是梯形，，

又四邊形是矩形，，

∵平面平面，平面平面

∴平面

以為原點，以、、分別為、、

軸建立空間直角坐標系，

∴，，，，

∴，，.

設平面的法向量 ，

∴ ， .

即

令，則，.∴可取 .

又是平面的法向量，

∴ 由圖可知，二面角為銳角.

∴二面角的余弦值是