Question

【題目】如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)面ABB1A1為菱形，D為AB的中點(diǎn)，為等腰三角形，∠ACB＝，∠ABB1＝，且AB＝B1C.

（1）證明：CD⊥平面ABB1A1 ；

（2）求CD與平面A1BC所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

(1)推導(dǎo)出CD⊥AB,連結(jié)B1D,設(shè)AB=2a,推導(dǎo)出CD⊥B1D,由此能證明CD⊥平面ABB1A1；(2)以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出CD與平面所成角的正弦值.

證明：因?yàn)?/span>D為AB的中點(diǎn)，，所以．
連接，設(shè)，因?yàn)樗倪呅?/span>為菱形，D為AB的中點(diǎn)，，
所以，
又為等腰直角三角形，，所以，

所以，則D.

因?yàn)?/span>，所以平面

（2）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，則0，，，，0，，

所以，，

設(shè)平面的法向量為y，，則，

即，令，得．

設(shè)CD與平面所成角為，因?yàn)?/span>，

所以

所以，

即CD與平面所成角的正弦值為．