Question

【題目】如圖，四棱錐的底面是菱形，且，其對角線、交于點， 、是棱、上的中點.

（1）求證：面面；

（2）若面底面， ， ， ，求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】試題分析：

（1）由是菱形可得，又，所以，于是可得平面；又由可得平面，從而可得平面面．（2）在中由余弦定理可得，于是，可得．根據題意可得點到面的距離即為點到的距離，且為，又根據題意得點到面的距離為點到面的距離的一半，可得．

試題解析：

（1）證明：因為底面是菱形，

所以是的中點，且，

又、是棱、上的中點，

所以，

所以，

又 面， 面，

所以平面．

又在中， ，且 面， 面，

所以平面，

又，

所以平面面．

（2）解：在中， ，

所以，

由（1）知， ，

所以，

所以，

因為平面底面，平面 底面，

所以點到面的距離即為點到的距離．

又在菱形中， ， ，

所以點到的距離為，

因為、、是、、的中點，平面面，

所以點到面的距離為點到面的距離的一半，

所以．