Question

【題目】已知函數.

（1）若曲線在點處的切線與直線垂直，求函數的單調區間；

（2）若對于任意都有成立，試求的取值范圍；

（3）記.當時，函數在區間上有兩個零點，求實數的取值范圍。

Answer 1

【答案】（1）單調增區間是，單調減區間是.（2）（3）

【解析】

（1）先由導數的幾何意義求得a，在定義域內，再求出導數大于0的區間，即為函數的增區間，求出導數小于0的區間即為函數的減區間．

（2）根據函數的單調區間求出函數的最小值，要使f（x）＞2（a﹣1）恒成立，需使函數的最小值大于2（a﹣1），從而求得a的取值范圍．

（3）利用導數的符號求出單調區間，再根據函數g（x）在區間[e﹣1，e]上有兩個零點，得到， 解出實數b的取值范圍．

（1）直線的斜率為1， 函數)的定義域為.

因為，所以，所以，

所以，.

由解得；由解得.

所以得單調增區間是，單調減區間是.

（2）由解得；由解得.

所以在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，

所以當時，函數取得最小值.

因為對于任意都有成立，

所以即可.

則，

即，解得，

所以得取值范圍是.

（3）依題意得，則，

由解得，由解得.

所以函數在區間上有兩個零點，

所以，解得.

所以的取值范圍是.